Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lời giải:
Tại điểm x0 = 1 ta có y0 = 2×12 + 3×1 – 1 = 4.
Với x ≠ 1, ta có y−4x−1=2x2+3x−1−4x−1=2x2+3x−5x−1
=(2x+5)(x−1)x−1=2x+5 .
Do đó y'(1) = limx→1y−4x−1=limx→1(2x+5) = 7. Vậy y'(1) = 7.
Bài 9.2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x(2x – 1)2. Tính f'(0) và f'(1).
Lời giải:
+ Có f'(0) = limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0x(2x−1)2x=limx→0(2x-1)2 = 1.
Vậy f'(0) = 1.
+ Có f'(1) = limx→1f(x)−f(1)x−1=limx→1x(2x−1)2−1x−1
=limx→1(x−1)(2x−1)2+(2x−1)2−1x−1
=limx→1(x−1)(2x−1)2+(2x−1−1)(2x−1+1)x−1
=limx→1(x−1)(2x−1)2+4x(x−1)x−1
Vậy f'(1) = 5.
Bài 9.3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = . Tính f'(0).
Lời giải:
Ta có f(0) = (0 – 1)2 = 1.
Ta có limx→0+f(x)−f(0)x−0=limx→0+(x−1)2−1x=limx→0+x2−2xx=limx→0+(x-2) = -2 ;
limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0−1−2x−1x=limx→0−−2xx=−2.
Suy ra limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0+f(x)−f(0)x−0=limx→0−f(x)−f(0)x−0=−2 .
Vậy f'(0) = −2.
Bài 9.4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số:
a) y = ax2 (a là hằng số) tại điểm x0 bất kì.
b) y=1x−1 tại điểm x0 bất kì, x0 ≠ 1.
Lời giải:
a) Đặt y = f(x) = ax2.
Ta có y'(x0) = limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0ax2−ax20x−x0
=limx→x0a(x2−x20)x−x0=limx→x0a(x−x0)(x+x0)x−x0
Vậy y'(x0) = 2ax0.
b) Đặt y = f(x) = 1x-1.
Ta có y'(x0) = limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x01x−1−1x0−1x−x0
=limx→x0x0−1−(x−1)(x−1)(x0−1)x−x0=limx→x0(x0−x)(x−1)(x0−1)x−x0
=limx→x0−1(x−1)(x0−1)=−1(x0−1)2.
Vậy y' , x0 ≠ 1.
Lời giải:
Giả sử M(a; a3 + 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = x3 + 1.
Đặt y = f(x) = x3 + 1. Có y'(a) =
.
Theo đề bài, ta có y'(a) = 3 nên 3a2 = 3 a = 1 hoặc a = −1.
Với a = 1 thì M(1; 2);
Với a = −1 thì M(−1; 0).
Vậy M(1; 2) và M(−1; 0) là tọa độ điểm cần tìm.
Lời giải:
Đặt y = f(x) = −3x2. Với x0 bất kì, ta có:
y'(x0) =
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến có dạng k = y'(x0) = −6x0 (x = x0 là hoành độ tiếp điểm).
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 6x + 5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6. Do đó −6x0 = 6 x0 = −1.
Với x0 = −1 thì y(−1) = −3.
Khi đó, ta có phương trình tiếp tuyến là: y + 3 = 6(x + 1) hay y = 6x + 3.
Vậy y = 6x + 3 là phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Lời giải:
Ta có vận tốc của vật tại thời điểm t0 bất kì là
v(t0) = s'(t0) =
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 3×32 − 8×3 + 4 = 7 m/s.
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là v(5) = 3×52 − 8×5 + 4 = 39 m/s.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: