Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB' và CC'

Bài 43 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB' và CC'.

a) Tính theo a thể tích khối tứ diện AA'MN.

b) Tính côsin góc nhị diện [A, MN, A'].

Trả lời

a) Ta có $V_{NA{A}^{\text{'}}M}=\frac{1}{3}$d(N,(AMA')).$S_{A{A}^{\text{'}}M}$.

Do CC' // AA' nên CC' // (AA'B'B) nên d(N, (AMA')) = d(C, (AA'B'B)).

Kẻ CH $\perp$ AB tại H.

Vì BB' $\perp$ (ABC) nên BB' $\perp$ CH mà CH $\perp$ AB nên CH $\perp$ (AA'B'B).

Do đó d(C, (AA'B'B)) = CH.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, CH là đường cao có CH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$,

suy ra d(C, (AA'B'B)) = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì ABB'A' là hình chữ nhật có d(M, AA') = AB = a.

Do đó $S_{A{A}^{\text{'}}M}=\frac{1}{2}$d(M,AA').AA' = $\frac{1}{2}$.a.2a = a².

Vậy $V_{NA{A}^{\text{'}}M}=\frac{1}{3}d\left(N,\left(AM{A}^{\text{'}}\right)\right)\cdot S_{A{A}^{\text{'}}M}$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

b) Gọi I là trung điểm của MN.

Vì M, N là trung điểm của BB' và CC' nên CN = C'N, BM = B'M.

Mà AA' = BB' = CC' = 2a nên CN = C'N = BM = B'M = a.

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên

AB = AC = BC = A'B' = A'C' = B'C' = a.

Xét tam giác CAN vuông tại C, có AN² = AC² + CN² = a² + a² = 2a².

Xét tam giác A'C'N vuông tại C', có A'N² = A'C'² + C'N² = a² + a² = 2a².

Xét tam giác A'B'M vuông tại B', có A'M² = A'B'² + B'M² = a² + a² = 2a².

Xét tam giác ABM vuông tại B, có AM² = AB² + BM² = a² + a² = 2a².

Do đó AN = A'N = A'M = AM.

Xét tam giác A'MN có A'M = A'N nên tam giác A'MN cân tại A' mà A'I là trung tuyến nên A'I đồng thời là đường cao hay A'I $\perp$ MN.

Xét tam giác AMN có AM = AN nên tam giác AMN cân tại A mà AI là trung tuyến nên AI đồng thời là đường cao hay AI $\perp$ MN.

Vì A'I $\perp$ MN và AI $\perp$ MN nên [A, MN, A'] = $\widehat{AI{A}^{\text{'}}}$.

Vì I là trung điểm của MN mà MN = BC = a nên MI = IN = $\frac{MN}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác A'MI vuông tại I, có $A^{\text{'}}I=\sqrt{A^{\text{'}}{M}^2-M{I}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Xét tam giác ANI vuông tại I, có $AI=\sqrt{A{N}^2-N{I}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác AA'I, ta có:

$cos\widehat{AI{A}^{\text{'}}}=\frac{A{I}^2+A^{\text{'}}{I}^2-A{A^{\text{'}}}^2}{2\cdot AI\cdot A^{\text{'}}I}$$=\frac{\frac{7a^2}{4}+\frac{7a^2}{4}-4a^2}{2\cdot \frac{7a^2}{4}}=-\frac{1}{7}$.

Vậy côsin góc nhị diện [A, MN, A'] bằng -$\frac{1}{7}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: