Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng

Bài 19 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng

A. 90°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 45°.

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên các mặt là hình vuông.

Có AA' // CC' và AA' = CC' (vì chúng cùng song song và bằng BB') nên ACC'A' là hình bình hành, suy ra AC // A'C'.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng góc giữa hai đường thẳng A'C' và BC', mà (A'C', BC') = $\widehat{B{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Xét tam giác BB'C' vuông tại B', có $B{C}^{\text{'}}=\sqrt{B{B^{\text{'}}}^2+B^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'B'C' vuông tại B', có $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\sqrt{A^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2+B^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ .

Xét tam giác BB'A' vuông tại B', có $B{A}^{\text{'}}=\sqrt{B{B^{\text{'}}}^2+B^{\text{'}}{A^{\text{'}}}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'BC' có A'B = BC' = A'C' = a$\sqrt{2}$ nên tam giác A'BC' đều, suy ra $\widehat{B{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=60°$ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và BC' bằng 60°.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: