Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = a, AA' = a căn 2 . Thể tích khối tứ diện ACB'D' bằng

Bài 23 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = a, AA' = a$\sqrt{2}$ . Thể tích khối tứ diện ACB'D' bằng

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.

C. $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$.

D. $\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$.

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Ta có V_ACB'D' = V_{ABCD.A'B'C'D'} – V_A.A'B'D' – V_B'.ABC – V_C.C'D'B' – V_D'.DAC.

Vì hình chữ nhật ABCD có AB = AD = a nên ABCD là hình vuông.

Do đó ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông.

Do A'B'C'D' là hình vuông nên S_A'B'D' = S_B'C'D' = $\frac{1}{2}{S}_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ .

Do ABCD là hình vuông nên S_ABC = S_ADC = $\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$ .

Có V_A.A'B'D' $=\frac{1}{3}{A}^{\text{'}}A\cdot S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$$=\frac{1}{3}{A}^{\text{'}}A\cdot \frac{1}{2}{S}_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$$=\frac{1}{6}{A}^{\text{'}}A\cdot S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$$=\frac{1}{6}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ .

V_B'.ABC $=\frac{1}{3}B{B}^{\text{'}}\cdot S_{ABC}$$=\frac{1}{3}B{B}^{\text{'}}\cdot \frac{1}{2}{S}_{ABCD}$$=\frac{1}{6}B{B}^{\text{'}}\cdot S_{ABCD}$$=\frac{1}{6}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ .

V_C.C'D'B' $=\frac{1}{3}C{C}^{\text{'}}\cdot S_{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$$=\frac{1}{3}C{C}^{\text{'}}\cdot \frac{1}{2}{S}_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$$=\frac{1}{6}C{C}^{\text{'}}\cdot S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$$=\frac{1}{6}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ .

V_{D'.DAC$=\frac{1}{3}\cdot S_{ADC}$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{S}_{ABCD}$$=\frac{1}{6}\cdot S_{ABCD}$$=\frac{1}{6}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$} .

V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.AB.AD = a$\sqrt{2}$.a.a = a^3$\sqrt{2}$.

Khi đó:

V_ACB'D' = V_{ABCD.A'B'C'D'} – V_A.A'B'D' – V_B'.ABC – V_C.C'D'B' – V_D'.DAC $=\frac{1}{3}{V}_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$$=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$ .

Vậy V_ACB'D $=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: