Giải SGK Toán 7 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Giải SGK Toán 7 Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 33 Tập 2

Khởi động trang 33 Toán 7 Tập 2:

Có thể cộng và trừ hai đa thức một biến như cộng và trừ hai số thực không?

Lời giải:

Cộng và trừ hai đa thức một biến ta có thể làm tương tự như cộng và trừ hai số thực.

Khám phá 1 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Hãy lập biểu thức biểu thị tổng chu vi của hình vuông (Hình 1a) và hình chữ nhật (Hình 1b).

Lời giải:

- Hình 1a): Hình vuông có độ dài một cạnh là x.

Khi đó, biểu thức biểu thị chu vi của hình vuông là: 4x.

- Hình 1b): Hình chữ nhật có chiều dài là x + 1 và chiều rộng là x.

Khi đó, biểu thức biểu thị chu vi của hình chữ nhật là:

2 . [x + (x + 1)] = 2 . (2x + 1) = 4x + 2.

Do đó, biểu thức biểu thị tổng chu vi của hình vuông và hình chữ nhật là:

4x + 4x + 2 = 8x + 2.

Giải Toán 7 trang 34 Tập 2

Thực hành 1 trang 34 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P(x) = 7x³ - 8x + 12 và Q(x) = 6x² - 2x³ + 3x - 5.

Hãy tính P(x) + Q(x) bằng hai cách.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có: P(x) + Q(x) = (7x³ - 8x + 12) + (6x² - 2x³ + 3x - 5)

= 7x³ - 8x + 12 + 6x² - 2x³ + 3x - 5

= (7x³ - 2x³) + 6x² + (-8x + 3x) + (12 - 5)

= 5x³ + 6x² - 5x + 7.

Vậy P(x) + Q(x) = 5x³ + 6x² - 5x + 7.

Cách 2:

Ta có: P(x) = 7x³ - 8x + 12;

Q(x) = 6x² - 2x³ + 3x - 5 = -2x³ + 6x² + 3x - 5.

Khi đó thực hiện đặt phép tính ta được:

Vậy P(x) + Q(x) = 5x³ + 6x² - 5x + 7.

Khám phá 2 trang 34 Toán 7 Tập 2:

Hình 2 gồm một hình chữ nhật có chiều dài 4x cm, chiều rộng 2x cm và hình vuông nhỏ bên trong có cạnh x cm.

Hãy lập biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu vàng trong Hình 2.

Lời giải:

Hình chữ nhật có chiều dài 4x cm và chiều rộng 2x cm.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật là:

4x . 2x = 8x².

Hình vuông có độ dài một cạnh x cm.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích của hình vuông là: x².

Biểu thức biểu thị diện tích phần được tô vàng trong Hình 2 là:

8x² - x² = 7x².

Vậy biểu thức biểu thị diện tích phần được tô vàng trong Hình 2 là 7x².

Giải Toán 7 trang 35 Tập 2

Thực hành 2 trang 35 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P(x) = 2x³ - 9x² + 5 và Q(x) = -2x² - 4x³ + 7x.

Hãy tính P(x) - Q(x) bằng hai cách.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có P(x) - Q(x) = (2x³ - 9x² + 5) - (-2x² - 4x³ + 7x)

= 2x³ - 9x² + 5 + 2x² + 4x³ - 7x

= (2x³ + 4x³) + (-9x² + 2x²) - 7x + 5

= 6x³ - 7x² - 7x + 5.

Vậy P(x) - Q(x) = 6x³ - 7x² - 7x + 5.

Cách 2:

Ta có: P(x) = 2x³ - 9x² + 5;

Q(x) = -2x² - 4x³ + 7x = - 4x³ - 2x² + 7x.

Khi đó thực hiện đặt phép tính ta được:

Vậy P(x) - Q(x) = 6x³ - 7x² - 7x + 5.

Thực hành 3 trang 35 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép tính: (x - 4) + [(x² + 2x) + (7 - x)].

Lời giải:

Ta có (x - 4) + [(x² + 2x) + (7 - x)]

= x - 4 + x² + 2x + 7 - x

= x² + (x + 2x - x) + (-4 + 7)

= x² + 2x + 3.

Vậy (x - 4) + [(x² + 2x) + (7 - x)] = x² + 2x + 3.

Bài 1 trang 35 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P(x) = -3x⁴ - 8x² + 2x và Q(x) = 5x³ - 3x² + 4x - 6.

Hãy tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).

Lời giải:

Ta có:

∙ P(x) + Q(x) = (-3x⁴ - 8x² + 2x) + (5x³ - 3x² + 4x - 6)

= -3x⁴ - 8x² + 2x + 5x³ - 3x² + 4x - 6

= -3x⁴ + 5x³ + (-8x² - 3x²) + (2x + 4x) - 6

= -3x⁴ + 5x³ - 11x² + 6x - 6;

∙ P(x) - Q(x) = (-3x⁴ - 8x² + 2x) - (5x³ - 3x² + 4x - 6)

= -3x⁴ - 8x² + 2x - 5x³ + 3x² - 4x + 6

= -3x⁴ - 5x³ + (-8x² + 3x²) + (2x - 4x) + 6

= -3x⁴ - 5x³ - 5x² - 2x + 6.

Vậy P(x) + Q(x) = -3x⁴ + 5x³ - 11x² + 6x - 6;

P(x) - Q(x) = -3x⁴ - 5x³ - 5x² - 2x + 6.

Bài 2 trang 35 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức M(x) = 7x³ - 2x² + 8x + 4.

Tìm đa thức N(x) sao cho M(x) + N(x) = 3x² - 2x.

Lời giải:

Vì M(x) + N(x) = 3x² - 2x nên N(x) = 3x² - 2x - M(x)

Khi đó N(x) = 3x² - 2x - (7x³ - 2x² + 8x + 4)

= 3x² - 2x - 7x³ + 2x² - 8x - 4

= -7x³ + (3x² + 2x²) + (-2x - 8x) - 4

= -7x³ + 5x² - 10x - 4.

Vậy N(x) = -7x³ + 5x² - 10x - 4.

Giải Toán 7 trang 36 Tập 2

Bài 3 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức A(y) = -5y⁴ - 4y² + 2y + 7.

Tìm đa thức B(y) sao cho B(y) - A(y) = 2y³ - 9y² + 4y.

Lời giải:

Ta có B(y) - A(y) = 2y³ - 9y² + 4y nên:

B(y) = A(y) + 2y³ - 9y² + 4y

= (-5y⁴ - 4y² + 2y + 7) + 2y³ - 9y² + 4y

= -5y⁴ - 4y² + 2y + 7 + 2y³ - 9y² + 4y

= -5y⁴ + 2y³ + (-4y² - 9y²) + (2y + 4y) + 7

= -5y⁴ + 2y³ -13y² + 6y + 7.

Vậy B(y) = -5y⁴ + 2y³ -13y² + 6y + 7.

Bài 4 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Viết biểu thức biểu thị chu vi của hình thang cân trong Hình 3:

Lời giải:

Hình thang cân trong Hình 3 có đáy bé 8x, đáy lớn 15x – 6, độ dài mỗi cạnh bên 4x + 1.

Khi đó, biểu thức biểu thị chu vi của hình thang cân là:

8x + 4x + 1 + 15x - 6 + 4x + 1

= (8x + 4x + 15x + 4x) + (1 - 6 + 1) = 31x - 4.

Vậy biểu thức biểu thị chu vi của hình thang cân trong Hình 3 là 31x - 4.

Bài 5 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác (Hình 4) có chu vi bằng 12t - 3. Tìm cạnh chưa biết của tam giác đó.

Lời giải:

Chu vi hình tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh.

Khi đó, độ dài cạnh còn lại của tam giác bằng:

12t - 3 - (3t + 8) - (4t - 7)

= 12t - 3 - 3t - 8 - 4t + 7

= (12t - 3t - 4t) + (-3 - 8 + 7)

= 5t - 4.

Vậy độ dài cạnh còn lại của tam giác trong Hình 4 bằng 5t - 4.

Bài 6 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho ba đa thức P(x) = 9x⁴ - 3x³ + 5x - 1; Q(x) = -2x³ - 5x² + 3x - 8;

R(x) = -2x⁴ + 4x² + 2x - 10.

Tính P(x) + Q(x) + R(x) và P(x) - Q(x) - R(x).

Lời giải:

Ta có: P(x) + Q(x) + R(x)

= (9x⁴ - 3x³ + 5x - 1) + (-2x³ - 5x² + 3x - 8) + (-2x⁴ + 4x² + 2x - 10)

= 9x⁴ - 3x³ + 5x - 1 - 2x³ - 5x² + 3x - 8 - 2x⁴ + 4x² + 2x - 10

= (9x⁴ - 2x⁴) + (-3x³ - 2x³) + (-5x² + 4x²) + (5x + 3x + 2x) + (-1 - 8 - 10)

= 7x⁴ - 5x³ - x² + 10x - 19.

P(x) - Q(x) - R(x)

= (9x⁴ - 3x³ + 5x - 1) - (-2x³ - 5x² + 3x - 8) - (-2x⁴ + 4x² + 2x - 10)

= 9x⁴ - 3x³ + 5x - 1 + 2x³ + 5x² - 3x + 8 + 2x⁴ - 4x² - 2x + 10

= (9x⁴ + 2x⁴) + (-3x³ + 2x³) + (5x² - 4x²) + (5x - 3x - 2x) + (-1 + 8 + 10)

= 11x⁴ - x³ + x² + 17.

Bài 7 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức P(x) = x³ - 4x² + 8x - 2. Hãy viết P(x) thành tổng của hai đa thức bậc bốn.

Lời giải:

Đặt A(x) = x⁴ + 2x³ - 3x².

Giả sử B(x) = P(x) – A(x)

= (x³ - 4x² + 8x - 2) - (x⁴ + 2x³ - 3x²)

= x³ - 4x² + 8x - 2 - x⁴ - 2x³ + 3x²

= - x⁴ - x³ - x² + 8x - 2.

Vậy P(x) thành tổng của hai đa thức bậc bốn x⁴ + 2x³ - 3x² và - x⁴ - x³ - x² + 8x - 2.

Bài 8 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho hình vuông cạnh 2x và bên trong là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và 3 (Hình 5). Tìm đa thức theo biến x biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh.

Lời giải:

∙ Hình vuông có độ dài một cạnh là 2x.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích hình vuông là: 2x . 2x = 4x².

∙ Hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là 3.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật là: 3x.

Do đó, biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là: 4x² - 3x.

Bài 9 trang 36 Toán 7 Tập 2:

a) Thực hiện phép tính: (3x - 1) + [(2x² + 5x) + (4 - 3x)].

b) Cho A = 4x + 2, C = 5 - 3x². Tìm đa thức B sao cho A + B = C.

Lời giải:

a) (3x - 1) + [(2x² + 5x) + (4 - 3x)]

= 3x - 1 + 2x² + 5x + 4 - 3x

= 2x² + (3x + 5x - 3x) + (-1 + 4)

= 2x² + 5x + 3.

b) Ta có A + B = C suy ra B = C - A.

Với A = 4x + 2, C = 5 - 3x², ta có:

B = (5 - 3x²) - (4x + 2)

= 5 - 3x² - 4x - 2

= -3x² - 4x + (5 - 2)

= -3x² - 4x + 3.

Vậy B = -3x² - 4x + 3.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 1: Biểu thức số, biểu thức đại số

Bài 2: Đa thức một biến

Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Bài 5: Hoạt động thực hành và trải nghiệm. Cách tính điểm trung bình môn học kì

Bài tập cuối chương 7