Giải SGK Toán 7 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Giải SGK Toán 7 Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 37 Tập 2

Khởi động trang 37 Toán 7 Tập 2:

Có thể nhân, chia hai đa thức một biến được không?

Lời giải:

Ta có thể thực hiện nhân, chia hai đa thức một biến.

Khám phá 1 trang 37 Toán 7 Tập 2:

Hãy dùng tính chất phân phối để thực hiện phép nhân x . (2x + 3).

Lời giải:

Áp dụng tính chất phân phối, ta được:

x . (2x + 3) = x . 2x + x . 3 = 2x² + 3x.

Thực hành 1 trang 37 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép nhân (4x - 3)(2x² + 5x - 6).

Lời giải:

Ta có: (4x - 3)(2x² + 5x - 6)

= 4x . (2x² + 5x - 6) + (-3) . (2x² + 5x - 6)

= 4x . 2x² + 4x . 5x + 4x . (-6) + (-3) . 2x² + (-3) . 5x + (-3) . (-6)

= 8x³ + 20x² - 24x - 6x² - 15x + 18

= 8x³ + (20x² - 6x²) + (-24x - 15x) + 18

= 8x³ + 14x² - 39x + 18.

Vậy (4x - 3)(2x² + 5x - 6) = 8x³ + 14x² - 39x + 18.

Vận dụng 1 trang 37 Toán 7 Tập 2:

Tìm đa thức theo biến x biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật có kích thước như Hình 2.

Lời giải:

Biểu thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật trên là:

(x + 3)(x - 1)(x - 2)

= [x . x + 3 . x + x . (-1) + 3 . (-1)] . (x - 2)

= (x² + 3x - x - 3) . (x - 2)

= (x² + 2x - 3) . (x - 2)

= x² . x + x² . (-2) + 2x . x + 2x . (-2) + (-3) . x + (-3) . (-2)

= x³ - 2x² + 2x² - 4x - 3x + 6

= x³ + (-2x² + 2x²) + (-4x - 3x) + 6

= x³ - 7x + 6.

Vậy đa thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật trên là x³ - 7x + 6.

Giải Toán 7 trang 38 Tập 2

Khám phá 2 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép nhân (3x + 1)(x² - 2x + 1),

rồi đoán xem (3x³ - 5x² + x + 1) : (3x + 1) bằng đa thức nào.

Lời giải:

(3x + 1)(x² - 2x + 1) = 3x . (x² - 2x + 1) + 1 . (x² - 2x + 1)  

= 3x . x² + 3x . (-2x) + 3x . 1 + x² - 2x + 1

= 3x³ - 6x² + 3x + x² - 2x + 1

= 3x³ + (-6x² + x²) + (3x - 2x) + 1

= 3x³ - 5x² + x + 1.

Khi đó (3x³ - 5x² + x + 1) : (3x + 1) = x² - 2x + 1.

Thực hành 2 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép chia P(x) = 6x² + 4x cho Q(x) = 2x.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước như sau:

- Đặt phép chia

- Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức P(x) chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 6x² : 2x = 3x.

- Lấy P(x) trừ 3x . Q(x) ta được dư thứ nhất: 3x . 2x = 6x².

- Lấy đa thức bị chia trừ 6x², ta được:

Đa thức 4x là dư thứ nhất.

- Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 4x : 2x = 2.

- Lấy dư thứ nhất trừ đi 2 . Q(x) ta được dư thứ hai: 4x - 2 . 2x = 4x - 4x = 0.

Do dư bằng 0 nên dừng phép chia.

Vậy P(x) : Q(x) = 3x + 2.

Giải Toán 7 trang 39 Tập 2

Vận dụng 2 trang 39 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép chia sau: $\frac{9{\text{x}}^2+5\text{x}+x}{3\text{x}}$ và $\frac{2{\text{x}}^2-3\text{x}-2}{2-x}$.

Lời giải:

* Xét $\frac{9{\text{x}}^2+5\text{x}+x}{3\text{x}}$:

Ta có 9x² + 5x + x = 9x² + 6x.

Thực hiện đặt phép chia, ta được:

Do đó $\frac{9{\text{x}}^2+5\text{x}+x}{3\text{x}}$ = 3x + 2.

* Xét $\frac{2{\text{x}}^2-3\text{x}-2}{2-x}$:

Ta có 2 - x = -x + 2.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

Do đó $\frac{2{\text{x}}^2-3\text{x}-2}{2-x}$ = -2x - 1.

Vậy $\frac{9{\text{x}}^2+5\text{x}+x}{3\text{x}}$ = 3x + 2 và $\frac{2{\text{x}}^2-3\text{x}-2}{2-x}$ = -2x - 1.

Thực hành 3 trang 39 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép chia (x² + 5x + 9) : (x + 2).

Lời giải:

Thực hiện đặt phép chia, ta được:

Vậy $\frac{x^2+5x+9}{x+2}=x+3+\frac{3}{x+2}$.

Vận dụng 3 trang 39 Toán 7 Tập 2:

Tính diện tích đáy của một hình hộp chữ nhật (Hình 3) có chiều cao bằng (x + 3) cm và có thể tích bằng (x³ + 8x² + 19x + 12) cm³.

Lời giải:

Ta có công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật là:

 V = S . h (trong đó V, S và h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao hình hộp chữ nhật).

Khi đó, diện tích đáy hình hộp chữ nhật là:

S = V : h = (x³ + 8x² + 19x + 12) : (x + 3) = x² + 5x + 4 (cm²).

Vậy diện tích đáy của hình hộp chữ nhật bằng (x² + 5x + 4) cm².

Giải Toán 7 trang 40 Tập 2

Thực hành 4 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép tính: $\frac{1}{5}$. (x² + 1) . 5.

Lời giải:

Cách 1: Thực hiện từ trái sang phải.

$\frac{1}{5}$. (x² + 1) . 5 = $\left(\frac{1}{5}{x}^2+\frac{1}{5}\right).5$

= $\frac{1}{5}{x}^2.5+\frac{1}{5}.5$ = x² + 1.

Cách 2: Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp để tính giá trị biểu thức.

$\frac{1}{5}$. (x² + 1) . 5 = $\frac{1}{5}$ . 5 . (x² + 1)

= $\left(\frac{1}{5}.5\right)$ . (x² + 1) = x² + 1.

Bài 1 trang 40 Toán 7 Tập 2: Thực hiện phép nhân.

a) (4x - 3)(x + 2);

b) (5x + 2)(-x² + 3x + 1);

c) (2x² - 7x + 4)(-3x² + 6x + 5).

Lời giải:

a) (4x - 3)(x + 2)

= 4x . x + 4x . 2 + (-3) . x + (-3) . 2

= 4x² + 8x - 3x - 6

= 4x² + (8x - 3x) - 6

= 4x² + 5x - 6.

b) (5x + 2)(-x² + 3x + 1)

= 5x . (-x²) + 5x . 3x + 5x . 1 + 2 . (-x²) + 2 . 3x + 2 . 1

= -5x³ + 15x² + 5x - 2x² + 6x + 2

= -5x³ + (15x² - 2x²) + (5x + 6x) + 2

= -5x³ + 13x² + 11x + 2.

c) (2x² - 7x + 4)(-3x² + 6x + 5)

= 2x² . (-3x²) + 2x² . 6x + 2x² . 5 + (-7x) . (-3x²) + (-7x) . 6x + (-7x) . 5 + 4 . (-3x²) + 4 . 6x + 4 . 5

= -6x⁴ + 12x³ + 10x² + 21x³ - 42x² - 35x - 12x² + 24x + 20

= -6x⁴ + (12x³ + 21x³) + (10x² - 42x² - 12x²) + (-35x + 24x) + 20

= -6x⁴ + 33x³ - 44x² - 11x + 20.

Bài 2 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Cho hai hình chữ nhật như Hình 4. Tìm đa thức theo biến x biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh.

Lời giải:

∙ Hình chữ nhật bên ngoài có chiều dài là 2x + 4 và chiều rộng là 3x + 2.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật bên ngoài là:

(2x + 4)(3x + 2) = 6x² + 4x + 12x + 8 = 6x² + 16x + 8.

∙ Hình chữ nhật bên trong có chiều dài là x + 1 và chiều rộng là x.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật bên trong là:

x . (x + 1) = x² + x.

Do đó biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là:

(6x² + 16x + 8) - (x² + x) 

= 6x² + 16x + 8 - x² - x

= (6x² - x²) + (16x - x) + 8 

= 5x² + 15x + 8.

Vậy biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là 5x² + 15x + 8.

Bài 3 trang 40 Toán 7 Tập 2: Thực hiện phép chia.

a) (8x⁶ - 4x⁵ + 12x⁴ - 20x³) : 4x³;

b) (2x² - 5x + 3) : (2x - 3).

Lời giải:

a) Ta có (8x⁶ - 4x⁵ + 12x⁴ - 20x³) : 4x³

= (8x⁶ : 4x³) + (-4x⁵ : 4x³) + (12x⁴ : 4x³) + (-20x³) : 4x³

= 2x³ - x² + 3x - 5

Vậy (8x⁶ - 4x⁵ + 12x⁴ - 20x³) : 4x³ = 2x³ - x² + 3x - 5.

b) Thực hiện đặt phép chia, ta được:

Vậy (2x² - 5x + 3) : (2x - 3) = x - 1.

Bài 4 trang 40 Toán 7 Tập 2: Thực hiện phép chia.

a) (4x² - 5) : (x - 2);

b) (3x³ - 7x + 2) : (2x² - 3).

Lời giải:

a) Thực hiện đặt phép chia ta được:

Vậy $\frac{4x^2-5}{x-2}=4x+8+\frac{11}{x-2}$.

b) Thực hiện đặt phép chia ta được:

Vậy $\frac{3x^3-7x+2}{2x^2-3}=\frac{3}{2}x+\frac{\frac{-5}{2}x+2}{2x^2-3}$.

Bài 5 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Tính chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích bằng (4y² + 4y - 3) cm² và chiều rộng bằng (2y - 1) cm.

Lời giải:

Chiều dài của hình chữ nhật là:

(4y² + 4y - 3) : (2y - 1) = 2y + 3 (cm)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật đó bằng (2y + 3) cm.

Bài 6 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng (3x³ + 8x² - 45x - 50) cm³, chiều dài bằng

(x + 5) cm và chiều cao bằng (x + 1) cm. Hãy tính chiều rộng của hình hộp chữ nhật đó.

Lời giải:

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là:

(3x³ + 8x² - 45x - 50) : (x + 1) = 3x² + 5x – 50 (cm)

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là:

(3x² + 5x – 50) : (x + 5) = 3x – 10 (cm)

Vậy chiều rộng của hình hộp chữ nhật bằng (3x - 10) cm.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài 5: Hoạt động thực hành và trải nghiệm. Cách tính điểm trung bình môn học kì

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Góc và cạnh của một tam giác

Bài 2: Tam giác bằng nhau