Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Dãy số

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số

Hoạt động khởi động trang 45 Toán 11 Tập 1:

Gọi u₁; u₂; u₃; ...; u_n lần lượt là diện tích các hình vuông có độ dài cạnh là 1; 2; 3; ...; n. Tính u₃ và u₄.

Lời giải:

u₃ và u₄ lần lượt là diện tích của các hình vuông có cạnh bằng 3 và 4. Do đó ta có:

u₃ = 3² = 9; u₄ = 4² = 16.

1. Dãy số là gì?

Hoạt động khám phá 1 trang 45 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số:

u: N* $\to$ R

n $\mapsto$ u(n) = n².

Tính u(1), u(2), u(50), u(100).

Lời giải:

Ta có:

u(1) = 1² = 1;

u(2) = 2² = 4;

u(50) = 50² = 2 500;

u(100) = 100² = 10 000.

Hoạt động khám phá 2 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số:

v: {1;2;3;4;5} $\to$R

n $\mapsto$v(n) = 2n.

Tính v(1), v(2), v(3), v(4), v(5).

Lời giải:

Ta có:

v(1) = 2.1 = 2;

v(2) = 2.2 = 4;

v(3) = 2.3 = 6;

v(4) = 2.4 = 8;

v(5) = 2.5 = 10.

Thực hành 1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số:

u: N* $\to$ R

n $\mapsto$ u_n = n³.

a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.

b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Lời giải:

a) Dãy số trên là dãy số vô hạn.

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:

u(1) = 1³ = 1;

u(2) = 2³ = 8;

u(3) = 3³ = 27;

u(4) = 4³ = 64;

u(5) = 5³ = 125.

Vận dụng 1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.

a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên.

Lời giải:

a) Dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này là:

v: {1;2;3;4;5} $\to$R

n $\mapsto$ v(n) = $\pi$n².

b) Số hạng đầu của dãy số là: v(1) = π.1² = π.

Số hạng cuối của dãy số là: v(5) = π.5² = 25π.

2. Cách xác định dãy số

Hoạt động khám phá 3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) được xác định như sau:

+) a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 2; a₄ = 3; a₅ = 4.

+) b_n = 2n.

+) 

+) d_n là chu vi của đường tròn có bán kính n.

Tính bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Lời giải:

+) Bốn số hạng đầu của dãy (a_n­) là: a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 2; a₄ = 3.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (b_n­) là:

b₁ = 2.1 = 2;

b₂ = 2.2 = 4;

b₃ = 2.3 = 6;

b₄ = 2.4 = 8.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (C_n­) là:

c₁ = 1;

c₂ = c₁ + 1 = 1 + 1 = 2;

c₃ = c₂ + 1 = 2 + 1 = 3;

c₄ = c₃ + 1 = 3 + 1 = 4.

+) d_n là chu vi của đường tròn có bán kính n được xác định bởi công thức: d_n = 2πn.

Khi đó bốn số hạng đầu của dãy (d_n­) là:

d₁ = 2π.1 = 2π;

d₂ = 2π.2 = 4π;

d₃ = 2π.3 = 6π;

d₄ = 2π.4 = 8π.

Thực hành 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: 

a) Chứng minh u₂ = 2.3; u₃ = 2².3; u₄ = 2³.3.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Lời giải:

a) Ta có:

n = 2 ≥ 1 nên u₂ = 2.u₁ = 2.3.

n = 3 ≥ 1 nên u₃ = 2.u₂ = 2.(2.3) = 2². 3.

n = 4 ≥ 1 nên u₄ = 2.u₃ = 2.(2².3) = 2³. 3.

b) Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = 2^{n – 1}.3.

Vận dụng 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột dỗ (Hình 1). Gọi u_n là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số (u_n) bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n.

b) Viết hệ thức truy hồi.

Lời giải:

a) Ta có u₁ = 14, khi đó:

u₂ = 14 + 1 = 15;

u₃ = 15 + 1 = 14 + 2.1;

u₄ = 14 + 3.1

Khi đó công thức tổng quát của dãy số (u­_n) là: u_n = 14 + (n – 1).1.

b) Hệ thức truy hồi của dãy số (u_n) là: 

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Hoạt động khám phá 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (a_n) và (b_n) được xác định như sau: a_n = 3n + 1, b_n = – 5n.

a) So sánh a_n và a_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

b) So sánh b_n và b_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

a) Ta có: a_n = 3n + 1, a_{n + 1} = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4

Vì n ∈ ℕ^* nên 3n + 4 > 3n + 1 hay a_{n + 1} > a_n.

b) Ta có: b_n = – 5n, b_{n + 1} = – 5(n + 1) = – 5n – 5

Vì n ∈ ℕ^* nên – 5n – 5 < – 5n hay b_{n – 1} < b_n.

Thực hành 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (u_n) với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$;

b) (x_n) với $x_n=\frac{n+2}{4^n}$;

c) (t_n) với t_n = (– 1)ⁿ . n².

Lời giải:

a) Ta có: (u_n) với $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\frac{3}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có: $x_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)+2}{4^{n+1}}=\frac{n+3}{{4.4}^n}$

Xét hiệu $x_{n+1}-x_n=\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{n+1}{4^n}=\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{4n+4}{{4.4}^n}=\frac{-3n-1}{{4.4}^n}<0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra x_n+1 < x_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (x_n) là dãy số giảm.

c) Ta có: t_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)²

Xét hiệu: t_n+1 – t_n = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)² – ( – 1)ⁿ.n²

Với n chẵn:

t_n+1 – t_n = 0 – (n + 1)² – n² < 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 < t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số giảm.

Với n lẻ:

t_n+1 – t_n = (n + 1)² + n² > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 > t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số tăng.

Vận dụng 3 trang 49 Toán 11 Tập 1: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi u₁ = 25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, u_n là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi v_t = 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, v_n là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Lời giải:

a) (u_n) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên nên (u_n) là dãy số giảm.

b) (v_n) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới nên (v_n) là dãy số tăng.

4. Dãy số bị chặn

Hoạt động khám phá 5 trang 49 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{n}$. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Lời giải:

Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{1}{n}$ > 0 hay u_n > 0.

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó $\frac{1}{n}$$\le \frac{1}{1}$ = 1 hay u_n ≤ 1.

Do đó 0 < u_n ≤ 1.

Thực hành 4 trang 49 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với $a_n=\cos \frac{\pi }{n}$;

b) (b_n) với $b_n=\frac{n}{n+1}$.

Lời giải:

a) Vì $-1\le \cos \frac{\pi }{n}\le 1$ nên $-1\le a_n\le 1$, ∀n ∈ ℕ^*.

Do đó dãy số (a_n) bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có: $b_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{1}{n+1}>0$ nên $1-\frac{1}{n+1}<1$ hay b_n < 1.

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{n}{n+1}>0$ hay b_n > 0.

Suy ra 0 < b_n < 1. Do đó (b_n) là dãy bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (b_n) bị chặn.

Bài tập

Bài 1 trang 50 Toán 11 Tập 1: Tìm u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n dãy số: 

Lời giải:

Ta có: n = 2 ≥ 1 nên $u_2=\frac{u_1}{1+u_1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

n = 3 ≥ 1 nên $u_3=\frac{u_2}{1+u_2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$.

n = 4 ≥ 1 nên $u_4=\frac{u_3}{1+u_3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$.

n = 5 ≥ 1 nên $u_5=\frac{u_4}{1+u_4}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{5}$.

Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số là: $u_n=\frac{1}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$. Tìm u₁, u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n.

Lời giải:

Ta có:

Dự đoán công thức tổng quát:

Bài 3 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (y_n) với $y_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

Lời giải:

Ta có: $y_{n+1}=\sqrt{\left(n+1\right)+1}-\sqrt{n+1}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$.

Xét hiệu $y_{n+1}-y_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}-\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\sqrt{n+2}+\sqrt{n}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra y_n+1 > y_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (y_n) tăng.

Bài 4 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với $a_n={\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}$;

b) (u_n) với $u_n=\frac{6n-4}{n+2}$.

Lời giải:

a) Vì $0\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $-1\le \cos \frac{n\pi }{4}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ nên $-1\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Do đó $-1\le a_n\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Suy ra dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có: $u_n=\frac{6n-4}{n+2}=6-\frac{16}{n+2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 2 ≥ 3

$\Rightarrow -\frac{16}{n+2}\ge -\frac{16}{3}$

$\Rightarrow 6-\frac{16}{n+2}\ge 6-\frac{16}{3}$

$\Rightarrow u_n\ge \frac{2}{3}$.

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{16}{n+2}>0$ khi đó u_n < 6.

Suy ra $\frac{2}{3}\le u_n<6$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$. Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_n=\frac{2n-1}{n+1}=2-\frac{3}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2

$\Rightarrow -\frac{3}{n+1}\ge -\frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2-\frac{3}{n+1}\ge 2-\frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_n\ge \frac{1}{2}$

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{3}{n+1}>0$ khi đó u_n < 2.

Suy ra $\frac{1}{3}\le u_n<2$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{n+1+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{(n+1)(n+2)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra u_n+1 > u_n nên dãy số (u_n) tăng.

Vậy dãy số (u_n) tăng và bị chặn.

Bài 6 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

b) (u_n) là dãy số giảm.

Lời giải:

Ta có: $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+1+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}-\frac{na+2}{n+1}=\frac{\left(\left(n+1\right)a+2\right)\left(n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(na+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{\left(n^2+2n+1\right)a+2n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(n^2+2n\right)a+2n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{a-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

Vì n ∈ ℕ^* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 – u_n > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

b) Để (u_n) là dãy số giảm thì u_n+1 – u_n < 0 nên a – 2 < 0 ⇔ a < 2.

Bài 7 trang 50 Toán 11 Tập 1: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Lời giải:

Độ dài cạnh của hình vuông số 1 là: 1;

Độ dài cạnh của hình vuông số 2 là: 1;

Độ dài cạnh của hình vuông số 3 là: 2;

Độ dài cạnh của hình vuông số 4 là: 3;

Độ dài cạnh của hình vuông số 5 là: 5;

Độ dài cạnh của hình vuông số 6 là: 8;

Độ dài cạnh của hình vuông số 7 là: 13;

Độ dài cạnh của hình vuông số 8 là: 21.

Ta có dãy số: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21.

Nhận xét: Dãy số trên có đặc điểm là:

Trong ba số hạng liên tiếp, số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng đầu.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2