Cho dãy số (un) với un = (2n-1)/(n+1). Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn
Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un=2n−1n+1. Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn.
Ta có: un=2n−1n+1=2−3n+1
Vì n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2
⇒−3n+1≥−32
⇒2−3n+1≥2−32
⇒un≥12
Mặt khác n ∈ ℕ* nên n > 0 do đó 3n+1>0 khi đó un < 2.
Suy ra 13≤un<2 nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.
Vì vậy dãy số (un) bị chặn.
Ta có: un+1=2(n+1)−1n+1+1=2n+1n+2
Xét hiệu:
un+1−un=2n+1n+2−2n−1n+1=2n2+3n+1−2n2−3n+2(n+1)(n+2)=3(n+1)(n+2)>0,∀n∈ℕ*.
Suy ra un+1 > un nên dãy số (un) tăng.
Vậy dãy số (un) tăng và bị chặn.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: