Cho dãy số (un) với un = (na+2)/(n+1). Tìm các giá trị của a để: a) (un) là dãy số tăng

Bài 6 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

b) (u_n) là dãy số giảm.

Trả lời

Ta có: $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+1+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}-\frac{na+2}{n+1}=\frac{\left(\left(n+1\right)a+2\right)\left(n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(na+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{\left(n^2+2n+1\right)a+2n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(n^2+2n\right)a+2n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{a-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

Vì n ∈ ℕ^* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 – u_n > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

b) Để (u_n) là dãy số giảm thì u_n+1 – u_n < 0 nên a – 2 < 0 ⇔ a < 2.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2