Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a) (un) với un = (2n-1)/(n+1)

Thực hành 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (u_n) với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$;

b) (x_n) với $x_n=\frac{n+2}{4^n}$;

c) (t_n) với t_n = (– 1)ⁿ . n².

Trả lời

a) Ta có: (u_n) với $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\frac{3}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có: $x_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)+2}{4^{n+1}}=\frac{n+3}{{4.4}^n}$

Xét hiệu $x_{n+1}-x_n=\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{n+1}{4^n}=\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{4n+4}{{4.4}^n}=\frac{-3n-1}{{4.4}^n}<0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra x_n+1 < x_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (x_n) là dãy số giảm.

c) Ta có: t_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)²

Xét hiệu: t_n+1 – t_n = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)² – ( – 1)ⁿ.n²

Với n chẵn:

t_n+1 – t_n = 0 – (n + 1)² – n² < 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 < t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số giảm.

Với n lẻ:

t_n+1 – t_n = (n + 1)² + n² > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 > t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số tăng.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2