Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1). a) Tìm toạ độ điểm M sao cho vectơ AM = vectơ BC

Bài 4 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1).

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$ .

b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NM}$.

Trả lời

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(3-\left(-1\right);\left(-1\right)-1\right)$. Do đó $\overrightarrow{BC}=\left(4;-2\right)$.

Gọi tọa độ điểm M(x_M; y_M), khi đó ta có $\overrightarrow{AM}=\left(x_M-2;y_M-3\right)$.

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$$\iff \overrightarrow{AM}=\left(4;-2\right)\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M-2=4\\ y_M-3=-2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M=6\\ y_M=1\end{array}\right.$.  

Vậy tọa độ điểm M là (6; 1).

b) + Gọi tọa độ điểm N(x_N; y_N).

Ta có: $\overrightarrow{AN}=\left(x_N-2;y_N-3\right)$, $\overrightarrow{NC}=\left(3-x_N;\left(-1\right)-y_N\right)$.

Do N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$ (hai vectơ này cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau).

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_N-2=3-x_N\\ y_N-3=\left(-1\right)-y_N\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}2x_N=5\\ 2y_N=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_N=\frac{5}{2}\\ y_N=1\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ của điểm N là $\left(\frac{5}{2};1\right)$.

+ Ta có: $\overrightarrow{BN}=\left(\frac{5}{2}-\left(-1\right);1-1\right)$, do đó $\overrightarrow{BN}=\left(\frac{7}{2};0\right)$.

Lại có: $\overrightarrow{NM}=\left(6-\frac{5}{2};1-1\right)$, do đó $\overrightarrow{NM}=\left(\frac{7}{2};0\right)$.

Vậy $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NM}$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 6

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng