Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5 trang 103
A. ˆA=ˆC=120∘,ˆB=ˆD=60∘.
B. ˆA=ˆD=45∘,ˆB=ˆC=135∘.
C. ˆA=ˆC=135∘,ˆB=ˆD=45∘.
D. ˆA=ˆD=135∘,ˆB=ˆD=45∘.
Lời giải:
Xét hình bình hành ABCD, ta có:
ˆA=ˆC;ˆD=ˆB
Mà ˆA=3ˆB nên ˆA+ˆB+ˆC+ˆD=360∘⇔^3B+ˆB+3ˆB+ˆB=360∘
Suy ra ˆB=ˆD=45∘;ˆA=ˆC=360∘−45∘.22=135∘
→ Đáp án đúng là đáp án C.
Bài 38 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng 8 cm. Độ dài đường chéo AC là:
A. 4√2cm
B. 8√2cm
C. 2√8cm
D. 4√8cm
Lời giải:
Xét tam giác vuông cân ABC ta có:
AC2=AB2+BC2 suy ra AC2=82+82=128
Vậy độ dài đường chéo AC=√128=8√2cm
→ Đáp án đúng là đáp án B.
A. BD=AC
B. AB⊥BC
C. BD⊥AC
D. AB=CD
Lời giải:
Nối AC,BD
Xét tam giác ABCD có E,H lần lượt là trung điểm của AB,AD nên EH là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra EH//BD,EH=12BD (1)
Tương tự xét tam giác CBD có F,G lần lượt là trung điểm của BC,CD nên Fg là đường trung bình của tam giác CBD suy ra FG//BD,FG=12BD (2)
Từ (1), (2) suy ra EH//FG;EH=FG nên EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Để hình bình hành EFGH là hình chữ nhật thì ^EHG=90∘ hay EH⊥HG
Lại có HG//AC (do HG là đường trung bình của tam giác DAC) nên EH⊥AC mà EH⊥BD (cmt) nên AC⊥BD.
Vậy tứ giác ABCD cần có AC⊥BD thì EFGH là hình chữ nhật.
→ Đáp án đúng là đáp án C.
Lời giải:
Trong tam giác ABC vuông tại B ta có: AC2=AB2+BC2 (theo định lí Pythagore).
Suy ra BC2=AC2−AB2=152−92=144. Do đó BC=√144=12(km)
Chi phí làm đường ống từ địa điểm C đến địa điểm B là:
5000.23635.12=1418100000 (đồng)
a) Chứng minh A là trung điểm của DE.
b) Tứ giác AJHK là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh BC=BD+CE.
Lời giải:
a) Xét ΔADJ vuông tại J và ΔAHJ vuông tại J có:
DJ=HJ (gt), AJ là cạnh chung
Do đó ΔADJ=ΔAHJ (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AD=AH (hai cạnh tương ứng) và ^JAD=^JAH (hai góc tương ứng)
Tương tự ta cũng chứng minh được ΔAHK=ΔAEk (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AH=AE (hai cạnh tương ứng) và ^KAH=^KAE (hai góc tương ứng)
Ta có:
^JAD+^JAH+^KAH+^KAE=2(^JAH+^KAH)=2.^JAK=2.90∘=180∘
Hay ^DAE=180∘ nên ba điểm D,A,E thẳng hàng
Lại có AD=AH và AH=AE nên AD=AE
Do đó A là trung điểm của DE.
b) Ta có AB⊥HE tại K nên ^AJH=90∘
AC⊥HE tại K nên ^AKH=90∘
Xét tứ giác AJKH có:
^AJH=^JAK=^AKH=90∘ nên là hình chữ nhật.
c) Xét tam giác BDJ vuông tại J và tam giác BHJ vuông tại J có:
DJ=HJ (gt), BJ là cạnh chung
Do đó ΔBDJ=ΔBHJ (hai cạnh góc vuông)
Suy ra BD=BH (hai cạnh tương ứng)
Tương tự, ta cũng có ΔCHK=ΔCEK (hai cạnh góc vuông)
Suy ra CH=CE (hai cạnh tương iwnsg)
Khi đó BC=BH+CH=BD+CE
Vậy BC=BD+CE.
a) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
b) Đường thẳng qua D song song với AE cắt AH tại F. Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
c) Tìm điều kiện của hình thang cân ABCD để E là trung điểm của BF (bỏ qua giả thiết ˆD=45∘).
Lời giải:
a) ΔADH=ΔAEH (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông), suy ra AD=AE (hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác ABCE, ta có:
AB//EC
Vì AD=AE mà AD=BC nên AE=BC
Vậy tứ giác ABCE là hình bình hành.
b) Xét tam giác AHE và FHD, ta có:
^AEH=^FDH (so le trong); ^AHE=^FHD=90∘; DH=HE
Suy ra ΔAHE=ΔDHD (g.c.g)
Suy ra AH=HF
Xét tứ giác ADEF, ta có:
HD=HE;HA=HF
Mà AF⊥DE
Suy ra tứ giác ADEF là hình thoi.
c) Để E là trung điểm của BF thì BE=FE và ba điểm B,E,F thẳng hàng.
Khi bỏ qua giả thiết ^ADC=45∘ thì ta chứng minh được tứ giác ADEF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên ADEF là hình bình hành.
Do ABCE và ADEF đều là hình bình hành nên AE=BC,AE//BC và AE=DF.AE//DF
Suy ra BC=DF và BC//DF
Tứ giác BCFD có BC=DF và BC//DF nên BCFD là hình bình hành.
Mà E là trung điểm của BF, suy ra E là trung điểm của CD hay EC=ED=12CD.
Mặt khác, AB=EC (vì ABCE là hình bình hành), suy ra AB=12CD
Dễ thấy nếu hình thang cân ABCD(AB//CD) có AB=12CD thì E là trung điểm của BF.
Vậy điều kiện của hình thang cân ABCD(AB//CD) để E là trung điểm của BF là AB=12CD.
a) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành.
b) Gọi P là giao điểm của AM và BN,Q là giao điểm của CN và DM. Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật.
c) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác PMQN là hình vuông.
d) Tính diện tích của tứ giác PMQN, biết AB=2cm,^MAD=30∘.
Lời giải:
a) Do ABCD là hình bình hành nên BC//AD và BC=AD
Mà M∈BC,N∈AD nên MB//ND
Lại có M,N lần lượt là trung điểm của BC,AD nên MB=MC=12BC,NA=ND=12A
Do đó MB=MC=NA=ND
Tứ goác MBND có MB//ND và MB=ND nên là hình bình hành.
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được MANC là hình bình hành.
Do MBND,MANC đều là hình bình hành nên PN//MQ,PM//NQ. Suy ra tứ giác PMQN là hình bình hành.
ΔABN=ΔMBN (c.g.c). Suy ra AB=MN.
Tứ giác ABMN có AB=BM−MN=AN nên ABMN là hình thoi. Suy ra AM⊥Bn
Hình bình hành PMQN có ^MPN=90∘ nên PMQN là hình chữ nhật.
c) Để hình chữ nhật PMQN là hình vuông thì PM=PN.
Mà ABMN là hình thoi nên ABMN là hình bình hành. Suy ra AM,BN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường. mà PM=PN, suy ra AM=BN
Hình bình hành ABMN có AM=BN nên ABMN là hình chữ nhật
Suy ra ^ABM=90∘ hay ^ABC=90∘
Hình bình hành ABCD có ^ABC=90∘ nên ABCD là hình chữ nhật.
Dễ thấy, nếu hình bình hành ABCD là hình chữ nhật và BC=2AB thì PMQN là hình vuông.
Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD để PMQN là hình vuông là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật có BC=2AB.
d) Ta có: BM=AB nên BM=2cm
Do ABMN là hình thoi nên AM là tia phân giác của ^BAN
Suy ra ^BAN=2^MAD=60∘
Tam giác ABN có AB=AN và ^BAN=60∘ nên tam giác ABN đều.
Suy ra BN=AN=AB=2cm
Do P là trung điểm của BN nên BP=NP=BN2=1cm
Trong tam giác BMP vuông tại P, ta có: BM2=BP2+MP2
Suy ra MP2=BM2−BP2=3. Do đó MP=√3 cm
Do PMQN là hình chữ nhật nên diện tích của PMQN là:
MP.NP=√3.1=√3(cm2).
a) Chứng minh: DE=CF;DE⊥CF.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE,BF,CM cùng đi qua một điểm.
c) Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo BD để diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.
Lời giải:
Gọi H là giao điểm của DE và CF, K là giao điểm của CM và EF.
Do ABCD là hình vuông nên ta có:
^DAB=90∘,CD=DA,^ADB=^ABD=^DBC=45∘
a) Ta chứng minh được tam giác FDM vuông cân tại F.
Suy ra FM=DF
Tứ giác AEMF có ^MFA=^FAE=^AEM=90∘ nên AEMF là hình chữ nhật. Suy ra AE=FM.
Do đó AE=DF (vì cùng bằng FM)
ΔADE=ΔDCF (c.g.c). Suy ra DE=CF, ^AED=^DFC.
Trong tam giác ADE vuông tại A, ta có: ^AED+^ADE=90∘
Suy ra ^DFC+^ADE=90∘ hay ^DFH+^FHD=90∘. Từ đó ta tính được ^DHF=90∘. Vậy DE⊥CF.
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được BF⊥CE.
ΔABM=ΔCBM (c.g.c). Suy ra AM=CM. Mà EF=AM (vì AEMF là hình chữ nhật) suy ra EF=CM.
ΔDEF=ΔFCM (c.c.c). Suy ra ^DEF=^FCM hay ^FEH=^FCK
Trong tam giác HEF vuông tại H, ta có ^FEH+^EFH=90∘
Suy ra ^FCK+^EFH=90∘ hay ^FCK+^KFC=90∘. Từ đó, ta tính được ^CKF=90∘. Do đó, CK⊥EF.
Trong tam giác CEF, ta có: DE⊥CF,BF⊥CE,CM⊥EF nên ba đường thẳng DE,BF,CM là các đường cao của tam giác CEF. Vậy ba đường thẳng DE,BF,CM cùng đi qua một điểm.
c) Chu vi của hình chữ nhật AEMF là: 2(AE+AF)=2(DF+AF)=2AD
Mà AD không đổi nên chu vi của hình chữ nhật AEMF không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi AEMF là hình vuông. Suy ra ME=MF.
Khi đó ΔBEM=ΔDFM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra BM=DM hay M là trung điểm của BC
Vậy với M là trung điểm của BC thì diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.
Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến