Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, góc D = 45 độ. Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho HE = DH

Bài 42 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD,\hat{D}={45}^{\circ }$. Kẻ $AH$ vuông góc với $CD$ tại $H$. Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $HE=DH$.

a) Chứng minh tứ giác $ABCE$ là hình bình hành.

b) Đường thẳng qua $D$ song song với $AE$ cắt $AH$ tại $F$. Tứ giác $ADFE$ là hình gì? Vì sao?

c) Tìm điều kiện của hình thang cân $ABCD$ để $E$ là trung điểm của $BF$ (bỏ qua giả thiết $\hat{D}={45}^{\circ }$).

Trả lời

a) $\mathrm{\Delta }ADH=\mathrm{\Delta }AEH$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông), suy ra $AD=AE$ (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác $ABCE$, ta có:

$AB//EC$

Vì $AD=AE$ mà $AD=BC$ nên $AE=BC$

Vậy tứ giác $ABCE$ là hình bình hành.

b) Xét tam giác $AHE$ và $FHD$, ta có:

$\widehat{AEH}=\widehat{FDH}$ (so le trong); $\widehat{AHE}=\widehat{FHD}={90}^{\circ }$; $DH=HE$

Suy ra $\mathrm{\Delta }AHE=\mathrm{\Delta }DHD$ (g.c.g)

Suy ra $AH=HF$

Xét tứ giác $ADEF$, ta có:

$HD=HE;HA=HF$

Mà $AF\mathrm{\perp }DE$

Suy ra tứ giác $ADEF$ là hình thoi.

c)  Để $E$ là trung điểm của $BF$ thì $BE=FE$ và ba điểm $B,E,F$ thẳng hàng.

Khi bỏ qua giả thiết $\widehat{ADC}={45}^{\circ }$ thì ta chứng minh được tứ giác $ADEF$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $ADEF$ là hình bình hành.

Do $ABCE$ và $ADEF$ đều là hình bình hành nên $AE=BC,AE//BC$ và $AE=DF.AE//DF$

Suy ra $BC=DF$ và $BC//DF$

Tứ giác $BCFD$ có $BC=DF$ và $BC//DF$ nên $BCFD$ là hình bình hành.

Mà $E$ là trung điểm của $BF$, suy ra $E$ là trung điểm của $CD$ hay $EC=ED=\frac{1}{2}CD$.

Mặt khác, $AB=EC$ (vì $ABCE$ là hình bình hành), suy ra $AB=\frac{1}{2}CD$

Dễ thấy nếu hình thang cân $ABCD\left(AB//CD\right)$ có $AB=\frac{1}{2}CD$ thì $E$ là trung điểm của $BF$.

Vậy điều kiện của hình thang cân $ABCD\left(AB//CD\right)$ để $E$ là trung điểm của $BF$ là $AB=\frac{1}{2}CD$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành

Bài 5: Hình chữ nhật

Bài 6: Hình thoi

Bài 7: Hình vuông

Bài tập cuối chương 5 trang 103