Giải SBT Toán 8 (Cánh diều) Bài 7: Hình vuông

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông

Bài 31 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $K$ sao cho $BC=CK$. Từ điểm $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt tia $DC$ tại $E$. Gọi $F$ là trung điểm của $BE$.

a) Chứng minh các tứ giác $BOCF$ và $BDKE$ đều là hình vuông.

b) Tứ giác $CDOF$ có thể là hình vuông không? Vì sao?

Lời giải:

a) Tứ giác $ABCD$ là hình vuông suy ra $\widehat{ACB}={45}^{\circ },OB=OC,\widehat{BOC}=\widehat{DOC}={90}^{\circ }$.

Ta có: $\widehat{BOF}=\widehat{DOC}$ (hai góc đồng vị) nên $\widehat{OBF}={90}^{\circ };\widehat{CBE}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong) nên $\widehat{CBE}={45}^{\circ }$.

Từ đó ta chứng minh được tam giác $BDE$ vuông cân tại $B$ và tam giác $BCE$ vuông cân tại $C$. Suy ra $BD=BE$ và $BC=EC$.

$\mathrm{\Delta }BCF=\mathrm{\Delta }ECF$ (c.c.c). Suy ra ta tính được $\widehat{BFC}=\widehat{EFC}={90}^{\circ }$

Tứ giác $BOCF$ có $\widehat{BOC}=\widehat{OBF}=\widehat{BFC}={90}^{\circ }$ nên $BOCF$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $BOCF$ có $OB=OC$ nên $BOCF$ là hình vuông.

Ta có: $BC=CD$ và $BC=CE$ nên $CD=CE$.

Tứ giác $BDKE$ có hai đường chéo $BK$ và $DE$ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường nên $BDKE$ là hình bình hành.

Hình bình hành $BDKE$ có $\widehat{DBE}={90}^{\circ }$nên $BDKE$ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật $BDKE$ có $BD=BE$ nên $BDKE$ là hình vuông

b) Tứ giác $CDOF$ có $\widehat{ODC}={45}^{\circ }$ nên $CDOF$ không thể là hình vuông.

Bài 32 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc $A$ và $B$ cắt nhau tại $E$. Tia phân giác của các góc $C$ và $D$ cắt nhau tại $F$. Gọi $G$ là giao điểm của $AE$ và $DF$, $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$. Chứng minh:

a) $GH//CD$

b) Tứ giác $GFHE$ là hình vuông

Lời giải:

a) Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}={90}^{\circ }$

Mà $AE,BE,CF,DF$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $DAB,ABC,BCD,CDA$ 

suy ra $\widehat{DAE}=\widehat{EAB}=\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\widehat{BCF}=\widehat{FCD}=\widehat{CDF}=\widehat{FDA}={45}^{\circ }$

Do đó, các tam giác $EAB,FCD,GAD,HBC$ đều là tam giác vuông cân.

$\mathrm{\Delta }GAD=\mathrm{\Delta }HBC$ (g.c.g). Suy ra $GD=HC$. Mà $FD=FC$, suy ra $FG=FH$.

Do đó, tam giác $FGH$ vuông cân tại $F$. Suy ra $\widehat{FGH}={45}^{\circ }$.

Ta có: $\widehat{FGH}=\widehat{CDF}={45}^{\circ }$ và $\widehat{FGH},\widehat{CDF}$ nằm ở vị trí đồng vị nên $GH//CD$.

b)    $\widehat{EGF}=\widehat{AGD}={90}^{\circ }$ (hai góc đối đỉnh)

Tứ giác $GFHE$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $GFHE$ có $FG=FH$ nên $GFHE$ là hình vuông.

Bài 33 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành $ABCD$. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông $ABEF$ và $ADGH$ (Hình 26). Chứng minh:

a)  $\mathrm{\Delta }AHF=\mathrm{\Delta }ADC$

b)  $AC\mathrm{\perp }HF$.

Lời giải:

Gọi $K$ là giao điểm của $AC$ và $HF$

a) Do $ABEF$ và $ADGH$ đều là hình vuông nên$\widehat{BAF}=\widehat{DAH}={90}^{\circ },AH=BA,AH=DA$

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $BA=DC$. Suy ra $AF=DC$

Ta chứng minh được $\widehat{HAF}+\widehat{DAB}={180}^{\circ }$ và $\widehat{ADC}+\widehat{DAB}={180}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{HAF}=\widehat{ADC}$

Xét hai tam giác $HAF$ và $ADC$, ta có: $AH=DA,\widehat{HAF}=\widehat{ADC},AF=DA$

Suy ra $\mathrm{\Delta }HAF=\mathrm{\Delta }ADC$ (c.g.c)

b) Ta có: $\widehat{HAK}+\widehat{DAH}+\widehat{DAC}=\widehat{CAK}={180}^{\circ }$ và $\widehat{DAH}={90}^{\circ }$ nên $\widehat{HAK}+\widehat{DAC}={90}^{\circ }$

Mà $\widehat{AHF}=\widehat{DAC}$ (vì $\mathrm{\Delta }HAF=\mathrm{\Delta }ADC$), suy ra $\widehat{HAK}+\widehat{AHF}={90}^{\circ }$

Trong tam giác $AHK$, ta có: $\widehat{AKH}+\widehat{HAK}+\widehat{AHF}={180}^{\circ }$. Suy ra $\widehat{AKH}={90}^{\circ }$

Vậy $AK\mathrm{\perp }HK$ hai $AC\mathrm{\perp }HF$.

Bài 34 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $ABC$ có các đường trung tuyến $BD,CE$ cắt nhau tại $G$. Gọi $F,H$ lần lượt là trung điểm của $BG,CG$.

Bài 35 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $ABCD$ có $AB=12cm$. Trên cạnh $CD$ lấy điểm $E$ sao cho $DE=5cm$. Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $F$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM=DE$.

a) Chứng minh $AE=AM=DE$

b) Tính độ dài $BF$.

Lời giải:

a) $\mathrm{\Delta }ADE=\mathrm{\Delta }ABM$(c.g.c)

Suy ra $AE=AM$ và $\widehat{DAE}=\widehat{BAM}$.

Do $AF$ là tia phân giác của $\widehat{BAE}$ nên $\widehat{EAF}=\widehat{BAF}$.

Suy ra $\widehat{DAE}+\widehat{EAF}=\widehat{BAM}+\widehat{BAF}$ hay $\widehat{DAF}=\widehat{MAF}$.

Mà $\widehat{DAF}=\widehat{MFA}$ (hai góc so le trong) , suy ra $\widehat{MFA}=\widehat{MAF}$

Do đó, tam giác $MAF$ cân tại $M$. Suy ra $AM=FM$

Mà $AE=AM$, suy ra $AE=AM=FM$.

b) Trong tam giác $ADE$ vuông tại $D$, ta có: $A{E}^2=A{D}^2+D{E}^2$

Suy ra $AE=13cm$. Mà $FM=AE$, suy ra $FM=13cm$.

Ta có: $FM=BM+BF$. Mà $BM=DE=5cm$ và $FM=13cm$, suy ra $BF=8cm$.

Bài 36 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $ABCD$. Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $CD$ và điểm $F$ thuộc tia đối của tia $BC$ sao cho $BF=DE$.

a) Chứng minh tam giác $AEF$ là tam giác vuông cân

b) Gọi $I$ là trung điểm của $EF$. Trên tia đối của tia $IA$ lấy điểm $K$ sao cho $IK=IA$. Chứng minh tứ giác $AEKF$ là hình vuông.

c) Chứng minh $I$ thuộc đường thẳng $BD$.

Lời giải:

Từ điểm $F$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt đường thẳng $BD$ tại $M$

a)  $\mathrm{\Delta }ADE=\mathrm{\Delta }ABF$ (c.g.c)

Suy ra $AE=AF$ và $\widehat{DAE}=\widehat{BAF}$

Suy ra $\widehat{DAE}+\widehat{BAE}=\widehat{BAF}+\widehat{BAE}$ hay $\widehat{BAD}=\widehat{EAF}$.

Do đó, $\widehat{EAF}={90}^{\circ }$

Tam giác $AEF$ có $\widehat{EAF}={90}^{\circ },AE=AF$ nên tam giac $AEF$ vuông cân tại $A$.

b) Tứ giác $AEKF$ có hai đường chéo $AK,EF$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $AEKF$ là hình bình hành

hình bình hành $AEKF$ có $\widehat{EAF}={90}^{\circ }$ nên $AEKF$ là hình chữ nhật.

hình chữ nhật $AEKF$ có $AE=AF$ nên $AEKF$ là hình vuông.

c) Do $ABCD$ là hình vuông nên ta tính được $\widehat{CBD}={45}^{\circ }$. Mà $\widehat{FBM}=\widehat{CBD}$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $\widehat{FBM}={45}^{\circ }$.

Do $MF=CD$ nên $\widehat{BFM}=\widehat{BCD}$ (cặp góc so le trong)

Do đó $\widehat{BFM}={90}^{\circ }$. Ta chứng minh được tam giác null vuông cân tại $F$. Suy ra $MF=BF$. Mà $BF=DE$, suy ra $MF=DE$.

Tứ giác DEMF có $MF=DE$ và $MF//DE$ nên DEMF là hình bình hành.

Mà $I$ là trung điểm của $EF$, suy ra $I$ là trung điểm của $DM$

Vậy $I$ thuộc đường thẳng $DM$ hay $I$ thuộc đường thẳng $BD$.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 5: Hình chữ nhật

Bài 6: Hình thoi

Bài tập cuối chương 5 trang 103

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến