Giải SBT Toán 8 (Cánh diều) Bài 6: Hình thoi

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi

Bài 26 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi $ABCD$ có góc $B$ tù. Kẻ $BE$ vuông góc $AD$ tại $E$, $BF$ vuông góc với $CD$ tại $F$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $BE,BF$ với $AC$. Chứng minh tứ giác $BMDN$ là hình thoi.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$

Do $ABCD$ là hình thoi nên $AC$ vuông góc với $BD$ tại trung điểm $O$ của $BD$. Suy ra $AC$ là đường trung trực của $BD$. Do đó $BM=DM,BN=DN$.

Do $ABCD$ là hình thoi nên $BA=BC,\widehat{BAE}=\widehat{BCF}$.

Suy ra $\mathrm{\Delta }ABE=\mathrm{\Delta }BCF$ (cạnh huyền – góc nhọn kề)

Do đó $\widehat{ABE}=\widehat{CBF}$. Mà $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$, suy ra $\widehat{MBO}=\widehat{NBO}$.

$\mathrm{\Delta }MBO=\mathrm{\Delta }NBO$ (cạnh góc vuông – góc nhọn). suy ra $BM=BN$

Mà $BM=DM$ và $BN=DN$, suy ra $BM=DM=BN=DN$.

Tứ giác $BMDN$ có $BM=DM=BN=DN$ nên $BMDN$ là hình thoi.

Bài 27 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là $\frac{18}{5}$ m và $\frac{27}{10}$ m. Tính chu vi và diện tích của hình thoi đó.

Lời giải:

Xét hình thoi $ABCD$ có $AC=\frac{18}{5}m$, $BD=\frac{27}{10}m$.

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Do $ABCD$ là hình thoi nên $AC\mathrm{\perp }BD,O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Ta tính được:

$OA=\frac{AC}{2}=\frac{9}{5}m$

$OB=\frac{BD}{2}=\frac{27}{20}m$.

Trong tam giác $OAB$ vuông tại $O$, ta có: $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$. Suy ra $AB=\frac{9}{4}m$

Chu vi của hình thoi $ABCD$ là: $4.\frac{9}{4}=9\left(m\right)$

Diện tích của hình thoi $ABCD$ là: $\frac{1}{2}.\frac{18}{5}.\frac{27}{10}=\frac{243}{50}\left(m^2\right)$.

Bài 28 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao $BD,CE$. Tia phân giác của các góc $ACE,ABD$ cắt nhau tại $O$ và cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Tia $BN$ cắt $CE$ tại $K$, tia $CM$ cắt $BD$ tại $H$. Chứng minh:

a) $BN\mathrm{\perp }CM$

b) Tứ giác $MNHK$ là hình thoi.

Lời giải:

a) Do tam giác $ABD$ vuông tại $D$ và tam giác $ACE$ vuông tại $E$ nên $\widehat{ABD}+\hat{A}=\widehat{ACE}+\hat{A}={90}^{\circ }$. Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

Mà $BN$ và $CM$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat{ABD}$ và $\widehat{ACE}$, suy ra $\widehat{ABN}=\widehat{DBN}=\widehat{ACM}=\widehat{ECM}$.

Do tam giác $CEM$ vuông tại $E$ nên $\widehat{ECM}+\widehat{EMC}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{ABN}+\widehat{EMC}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{MBO}+\widehat{BMO}={90}^{\circ }$.

Do đó ta tính được $\widehat{BOM}={90}^{\circ }$. Vậy $BN\mathrm{\perp }CM$.

b)  $\mathrm{\Delta }BMO=\mathrm{\Delta }BHO$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $OM=OH$

$\mathrm{\Delta }CNO=\mathrm{\Delta }CKO$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $ON=OK$.

Tứ giác $MNHK$ có hai đường chéo $MH$ và $NK$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $MNHK$ là hình bình hành.

Hình bình hành $MNHK$ có $MH\mathrm{\perp }NK$ nên $MNHK$ là hình thoi.

Bài 29 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho góc $xOy$ khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song). Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh $Ox$ của góc $xOy$, vẽ đường thẳng $a$ theo cạnh kia của thước. đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh $Oy$ của góc $xOy$. Chứng minh tia $OM$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Lời giải:

Gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $a$ với tia $Oy$, $B$ là giao điểm của đường thẳng $b$ với tia $Ox$. Kẻ $AH$ vuông góc với $OB$ tại $H,AK$ vuông góc với $BM$ tại $K$. Do khoảng cách giữa hai lề của thước là không đổi nên ta có $AH=AK$.

Tứ giác $OAMB$ có $AM//OB,MB//OA$ nên $OAMB$ là hình bình hành. Suy ra $\widehat{AOH}=\widehat{AMK}$. Do đó $\widehat{OAH}=\widehat{MAK}$.

$\mathrm{\Delta }AOH=\mathrm{\Delta }AMK$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $OA=AM$.

Hình bình hành $OAMB$ có $OA=AM$ nên $OAMB$ là hình thoi. Vậy $OM$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Bài 30 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi $ABCD$ có $AB=2$cm, $\hat{A}=\frac{1}{2}\hat{B}$. Các điểm $H,K$ thay đổi lần lượt trên cạnh $AD,CD$ sao cho $\widehat{HBK}={60}^{\circ }$.