Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F

Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc đường chéo $BD$. Kẻ $ME$ vuông góc với $AB$ tại $E$,$MF$ vuông góc với $AD$ tại $F$.

a) Chứng minh: $DE=CF;DE\mathrm{\perp }CF$.

b) Chứng minh ba đường thẳng $DE,BF,CM$ cùng đi qua một điểm.

c) Xác định vị trí của điểm $M$ trên đường chéo $BD$ để diện tích của tứ giác $AEMF$ lớn nhất.

Trả lời

Gọi $H$ là giao điểm của $DE$ và $CF$, $K$ là giao điểm của $CM$ và $EF$.

Do $ABCD$ là hình vuông nên ta có:

$\widehat{DAB}={90}^{\circ },CD=DA,\widehat{ADB}=\widehat{ABD}=\widehat{DBC}={45}^{\circ }$

a) Ta chứng minh được tam giác $FDM$ vuông cân tại $F$.

Suy ra $FM=DF$

Tứ giác $AEMF$ có $\widehat{MFA}=\widehat{FAE}=\widehat{AEM}={90}^{\circ }$ nên $AEMF$ là hình chữ nhật. Suy ra $AE=FM$.

Do đó $AE=DF$ (vì cùng bằng $FM$)

$\mathrm{\Delta }ADE=\mathrm{\Delta }DCF$ (c.g.c). Suy ra $DE=CF$, $\widehat{AED}=\widehat{DFC}$.

Trong tam giác $ADE$ vuông tại $A$, ta có: $\widehat{AED}+\widehat{ADE}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{DFC}+\widehat{ADE}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{DFH}+\widehat{FHD}={90}^{\circ }$. Từ đó ta tính được $\widehat{DHF}={90}^{\circ }$. Vậy $DE\mathrm{\perp }CF$.

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được $BF\mathrm{\perp }CE$.

$\mathrm{\Delta }ABM=\mathrm{\Delta }CBM$ (c.g.c). Suy ra $AM=CM$. Mà $EF=AM$ (vì $AEMF$ là hình chữ nhật) suy ra $EF=CM$.

$\mathrm{\Delta }DEF=\mathrm{\Delta }FCM$ (c.c.c). Suy ra $\widehat{DEF}=\widehat{FCM}$ hay $\widehat{FEH}=\widehat{FCK}$

Trong tam giác $HEF$ vuông tại $H$, ta có $\widehat{FEH}+\widehat{EFH}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{FCK}+\widehat{EFH}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{FCK}+\widehat{KFC}={90}^{\circ }$. Từ đó, ta tính được $\widehat{CKF}={90}^{\circ }$. Do đó, $CK\mathrm{\perp }EF$.

Trong tam giác $CEF$, ta có: $DE\mathrm{\perp }CF,BF\mathrm{\perp }CE,CM\mathrm{\perp }EF$ nên ba đường thẳng $DE,BF,CM$ là các đường cao của tam giác $CEF$. Vậy ba đường thẳng $DE,BF,CM$ cùng đi qua một điểm.

c) Chu vi của hình chữ nhật $AEMF$ là: $2\left(AE+AF\right)=2\left(DF+AF\right)=2AD$

Mà $AD$ không đổi nên chu vi của hình chữ nhật $AEMF$ không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác $AEMF$ lớn nhất khi $AEMF$ là hình vuông. Suy ra $ME=MF$.

Khi đó $\mathrm{\Delta }BEM=\mathrm{\Delta }DFM$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $BM=DM$ hay $M$ là trung điểm của $BC$

Vậy với $M$ là trung điểm của $BC$ thì diện tích của tứ giác $AEMF$ lớn nhất.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành

Bài 5: Hình chữ nhật

Bài 6: Hình thoi

Bài 7: Hình vuông

Bài tập cuối chương 5 trang 103