Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F

Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E,MF vuông góc với AD tại F.

a) Chứng minh: DE=CF;DECF.

b) Chứng minh ba đường thẳng DE,BF,CM cùng đi qua một điểm.

c) Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo BD để diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.

Trả lời

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 6)

Gọi H là giao điểm của DE và CFK là giao điểm của CM và EF.

Do ABCD là hình vuông nên ta có:

DAB^=90,CD=DA,ADB^=ABD^=DBC^=45

a) Ta chứng minh được tam giác FDM vuông cân tại F.

Suy ra FM=DF

Tứ giác AEMF có MFA^=FAE^=AEM^=90 nên AEMF là hình chữ nhật. Suy ra AE=FM.

Do đó AE=DF (vì cùng bằng FM)

ΔADE=ΔDCF (c.g.c). Suy ra DE=CFAED^=DFC^.

Trong tam giác ADE vuông tại A, ta có: AED^+ADE^=90

Suy ra DFC^+ADE^=90 hay DFH^+FHD^=90. Từ đó ta tính được DHF^=90. Vậy DECF.

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được BFCE.

ΔABM=ΔCBM (c.g.c). Suy ra AM=CM. Mà EF=AM (vì AEMF là hình chữ nhật) suy ra EF=CM.

ΔDEF=ΔFCM (c.c.c). Suy ra DEF^=FCM^ hay FEH^=FCK^

Trong tam giác HEF vuông tại H, ta có FEH^+EFH^=90

Suy ra FCK^+EFH^=90 hay FCK^+KFC^=90. Từ đó, ta tính được CKF^=90. Do đó, CKEF.

Trong tam giác CEF, ta có: DECF,BFCE,CMEF nên ba đường thẳng DE,BF,CM là các đường cao của tam giác CEF. Vậy ba đường thẳng DE,BF,CM cùng đi qua một điểm.

c) Chu vi của hình chữ nhật AEMF là: 2(AE+AF)=2(DF+AF)=2AD

Mà AD không đổi nên chu vi của hình chữ nhật AEMF không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi AEMF là hình vuông. Suy ra ME=MF.

Khi đó ΔBEM=ΔDFM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra BM=DM hay M là trung điểm của BC

Vậy với M là trung điểm của BC thì diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành

Bài 5: Hình chữ nhật

Bài 6: Hình thoi

Bài 7: Hình vuông

Bài tập cuối chương 5 trang 103

 

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả