Cho dãy số (un) biết u1 = 1, u2 = 2, un + 1 = 2un – un – 1 + 2 với n ≥ 2. a) Viết năm số hạng

Bài 56 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 1, u₂ = 2, u_{n + 1} = 2u_n – u_{n – 1} + 2 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Đặt v_n = u_{n + 1} – u_n với n ∈ ℕ^*. Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số cộng.

c) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

Trả lời

a) Ta có u₁ = 1, u₂ = 2, u₃ = u_{2 + 1} = 2u₂ – u_{2 – 1} + 2 = 2 . 2 – 1 + 2 = 5,

u₄ = u_{3 + 1} = 2u₃ – u_{3 – 1} + 2 = 2 . 5 – 2 + 2 = 10,

u₅ = u_{4 + 1} = 2u₄ – u_{4 – 1} + 2 = 2 . 10 – 5 + 2 = 17.

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 5; 10; 17.

b) Từ công thức u_{n + 1} = 2u_n – u_{n – 1} + 2 suy ra u_{n + 1} – u_n = u_n – u_{n – 1} + 2.

Mà v_n = u_{n + 1} – u_n và v_{n – 1} = u_{n – 1 + 1} – u_{n – 1} = u_n – u_{n – 1}.

Do đó, v_n = v_{n – 1} + 2 với n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu v₁ = u₂ – u₁ = 1 và công sai d = 2.

c) Từ kết quả câu b, ta có: v_n = v₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.

Lại có: v₁ = u₂ – u₁

            v₂ = u₃ – u₂

            ...

            v_{n – 2} = u_{n – 1} – u_{n – 2}

            v_{n – 1} = u_n – u_{n – 1}

Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:

v₁ + v₂ + ... + v_{n – 2} + v_{n – 1} = – u₁ + u_n  

         $\iff \frac{\left(v_1+v_{n-1}\right)\left(n-1\right)}{2}=-1+u_n$

⇔ (n – 1)² = u_n – 1

⇔ u_n = 1 + (n – 1)².

Vậy u_n = 1 + (n – 1)² và v_n = – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ^*.

Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục