Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M(2; 1), N(– 1; 3), P(4; 2)

Bài 5 trang 103 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M(2; 1), N(– 1; 3), P(4; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$;

b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$;

c) Tính độ dài các đoạn thẳng MN, MP;

d) Tính $cos\widehat{NMP}$;

e) Tìm tọa độ trung điểm I của NP và trọng tâm G của tam giác MNP.

Trả lời

a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ chính là tọa độ của điểm M(2; 1) nên $\overrightarrow{OM}=\left(2;1\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(-1-2;3-1\right)$, suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(-3;2\right)$.

Và $\overrightarrow{MP}=\left(4-2;2-1\right)$, suy ra $\overrightarrow{MP}=\left(2;1\right)$.

b) $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}=\left(-3\right).2+2.1=-6+2=-4$.

c) Độ dài đoạn thẳng MN là:

$MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2}=\sqrt{13}$.

Độ dài đoạn thẳng MP là:

$MP=\left|\overrightarrow{MP}\right|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.

d) Ta có: $cos\widehat{NMP}=cos\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right)$$=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}}{\left|\overrightarrow{MN}\right|.\left|\overrightarrow{MP}\right|}=\frac{-4}{\sqrt{13}.\sqrt{5}}=\frac{-4\sqrt{65}}{65}$.

Vậy $cos\widehat{NMP}=\frac{-4\sqrt{65}}{65}$.

e) Tọa độ trung điểm I của NP là $\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_N+x_P}{2}=\frac{\left(-1\right)+4}{2}=\frac{3}{2}\\ y_I=\frac{y_N+y_P}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}\end{array}\right.$.

Vậy $I\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$.

Tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_M+x_N+x_P}{3}=\frac{2+\left(-1\right)+4}{3}=\frac{5}{3}\\ y_G=\frac{y_M+y_N+y_P}{3}=\frac{1+3+2}{3}=\frac{6}{3}=2\end{array}\right.$ .

Vậy $G\left(\frac{5}{3};2\right)$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Thực hành phần mềm Geogebra