Cho hai đường thẳng: a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng Δ1 và Δ2

Bài 9 trang 104 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng:

${\Delta }_1:\sqrt{3}x+y-4=\mathrm{0,}{\Delta }_2:x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0.$

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂.

b) Tính số đo góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂.

Trả lời

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+y-4=0\\ x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0\end{array}\right.$.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+y-4=0\\ x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+y=4\left(1\right)\\ \sqrt{3}x+3y=6\left(2\right)\end{array}\right.$

Lấy (2) – (1) ta được: 3y – y = 6 – 4 ⇔ 2y = 2 ⇔ y = 1.

Thay y = 1 vào (1) ta được: $\sqrt{3}x+1=4\iff \sqrt{3}x=3\iff x=\sqrt{3}$.

Hệ trên có nghiệm duy nhất $\left(\sqrt{3};1\right)$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ là $\left(\sqrt{3};1\right)$.

b) Đường thẳng ∆₁ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(\sqrt{3};1\right)$, đường thẳng ∆₂ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;\sqrt{3}\right)$.

Ta có: $co\text{s}\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|cos\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|$

$=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{2.2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vậy (∆₁, ∆₂) = 30°.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Thực hành phần mềm Geogebra