Cho tam giác AF1F2, trong đó A(0; 4), F1(– 3; 0), F2(3; 0). a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AF1 và AF2

Bài 11 trang 104 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác AF₁F₂, trong đó A(0; 4), F₁(– 3; 0), F₂(3; 0).

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AF₁ và AF₂.

b) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác AF₁F₂.

c) Lập phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là F₁, F₂ sao cho (E) đi qua A.

Trả lời

a) +) $\overrightarrow{A{F}_1}=\left(-3;-4\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AF₁.

Suy ra đường thẳng AF₁ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(4;-3\right)$.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng AF₁ là:

4(x – 0) – 3(y – 4) = 0 hay 4x – 3y + 12 = 0.

+) $\overrightarrow{A{F}_2}=\left(3;-4\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AF₂.

Suy ra đường thẳng AF₂ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(4;3\right)$.

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng AF₂ là:

4(x – 0) + 3(y – 4) = 0 hay 4x + 3y – 12 = 0.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AF₁F₂ chính là đường tròn đi qua 3 điểm A, F₁, F₂.

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IF₁ = IF₂ ⇔ IA² = $I{F}_1^2$= $I{F}_2^2$ .

Vì IA² = $I{F}_1^2$, $I{F}_1^2$ = $I{F}_2^2$ nên

$\left\{\begin{array}{l}{\left(0-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2={\left(-3-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2\\ {\left(-3-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2={\left(3-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2-8b+16=a^2+6a+9+b^2\\ a^2+6a+9+b^2=a^2-6a+9+b^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}6a+8b=7\\ 12a=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=\frac{7}{8}\end{array}\right.$

Đường tròn tâm $I\left(0;\frac{7}{8}\right)$ có bán kính

R = IA = $\sqrt{{\left(0-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(4-\frac{7}{8}\right)}^2}=\frac{25}{8}$.

Phương trình đường tròn (C) là ${\left(x-0\right)}^2+{\left(y-\frac{7}{8}\right)}^2={\left(\frac{25}{8}\right)}^2$.

Vậy phương trình đường tròn (C) là $x^2+{\left(y-\frac{7}{8}\right)}^2=\frac{625}{64}$.

c) Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$.

Elip (E) đi qua điểm A(0; 4) nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{4^2}{b^2}=1\iff b^2=4^2\Rightarrow b=4\left(dob>0\right)$.

Elip (E) có hai tiêu điểm là F₁(– 3; 0), F₂(3; 0) nên c = 3.

Ta có: a² – b² = c² 

Suy ra a² – 4² = 3² 

⇔ a² = 25.

Do đó, a = 5 (do a > 0).

Khi đó a > b > 0, vậy a = 5, b = 4 thỏa mãn.

Vậy phương trình elip (E) cần lập là $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1hay\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Thực hành phần mềm Geogebra