Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là $6\sqrt{3}{\text{\hspace{0.17em}cm}}^{\text{3}}$ . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng $2\sqrt{6}\text{cm}$  và cạnh bên bằng $1\text{cm}.$

B. Cạnh đáy bằng $2\sqrt{3}\text{cm}$  và cạnh bên bằng $2\text{cm}.$

C. Cạnh đáy bằng $2\sqrt{2}\text{cm}$  và cạnh bên bằng $3\text{cm}.$

D. Cạnh đáy bằng $4\sqrt{3}\text{cm}$  và cạnh bên bằng $\frac{1}{2}\text{cm}.$

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  có độ dài $AB=x,A{A}^{\text{'}}=h.$

Khi đó $S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$  và $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}.A{A}^{\text{'}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}h.$

Theo giả thiết $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}h=6\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{24}{x^2}.$

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  là nhỏ nhất.