Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x\left(\text{cm}\right)$  , chiều cao là $h\left(\text{cm}\right)$  và thể tích là $500{\text{cm}}^{\text{3}}.$  Tìm độ dài cạnh hình vuông $x$  sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

A.  $x=2\text{cm.}$

Thể tích khối hộp $V=x.x.h=x^{2}h=500\Rightarrow h=\frac{500}{x^2}.$

Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tông nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất.

Diện tích toàn phần của hộp (không nắp)  $S_{\text{tp}}=S_{\text{day}}+S_{\text{xung quanh}}=x.x+4.hx=x^2+4hx$

$x^2+4x.\frac{500}{x^2}=x^2+\frac{2000}{x}=x^2+\frac{1000}{x}+\frac{1000}{x}\stackrel{\text{Cosi}}{\ge }3\sqrt[3]{{1000}^2}.$

Dấu $\text{'}\text{'}=\text{'}\text{'}$  xảy ra $\iff x^2=\frac{1000}{x}=\frac{1000}{x}\iff x^3=1000\iff x=10.$  Chọn D.

Cách 2. Xét hàm $f\left(x\right)=x^2+\frac{2000}{x}$  với $x>0$ .