Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau: a) Đường tròn có tâm I(– 3; 4) và bán kính R = 9

Bài 3 trang 91 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn có tâm I(– 3; 4) và bán kính R = 9;

b) Đường tròn có tâm I(5; – 2) và đi qua điểm M(4; – 1);

c) Đường tròn có tâm I(1; – 1) và có một tiếp tuyến là Δ: 5x – 12y – 1 = 0;

d) Đường tròn đường kính AB với A(3; – 4) và B(– 1; 6);

e) Đường tròn đi qua ba điểm A(1; 1); B(3; 1); C(0; 4).

Trả lời

a) Phương trình đường tròn có tâm I(– 3; 4) và bán kính R = 9 là

[x – (– 3)]² + (y – 4)² = 9² hay (x + 3)² + (y – 4)² = 81.

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm M thì có bán kính là

R = IM = $\sqrt{{\left(4-5\right)}^2+{\left(\left(-1\right)-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn trên là

(x – 5)² + [y – (– 2)]² = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$ hay (x – 5)² + ( y + 2)² = 2.

c) Bán kính của đường tròn cần lập bằng khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến tiếp tuyến ∆.

Ta có: R = d(I, ∆) = $\frac{\left|5.1-12.\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{5^2+{\left(-12\right)}^2}}=\frac{16}{13}$.

Vậy phương trình đường tròn là

${\left(x-1\right)}^2+{\left[y-\left(-1\right)\right]}^2={\left(\frac{16}{13}\right)}^2$ hay ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=\frac{256}{169}$.

d) Gọi I là trung điểm của AB, tọa độ của I là $\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{\left(-4\right)+6}{2}=1\end{array}\right.$ hay I(1; 1).

Ta có: $AB=\sqrt{{\left(-1-3\right)}^2+{\left(6-\left(-4\right)\right)}^2}=2\sqrt{29}$.

Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm I của AB và có bán kính R = $\frac{AB}{2}=\sqrt{29}.$

Vậy phương trình đường tròn đường kính AB là:

(x – 1)² + (y – 1)² = ${\left(\sqrt{29}\right)}^2$ hay (x – 1)² + (y – 1)² = 29.

e) Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = IC ⇔ IA² = IB² = IC².

Vì IA² = IB², IB² = IC² nên

$\left\{\begin{array}{l}{\left(1-a\right)}^2+{\left(1-b\right)}^2={\left(3-a\right)}^2+{\left(1-b\right)}^2\\ {\left(3-a\right)}^2+{\left(1-b\right)}^2={\left(0-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2-2a+1=a^2-6a+9\\ a^2-6a+9+b^2-2b+1=a^2+b^2-8b+16\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4a=8\\ -6a+6b=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}\right.$

Đường tròn tâm I(2; 3) bán kính

R = IA = $\sqrt{{\left(1-a\right)}^2+{\left(1-b\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(1-2\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Phương trình đường tròn là ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2$.

Vậy phương trình đường tròn là (x – 2)² + (y – 3)² = 5.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Thực hành phần mềm Geogebra