Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos(2x - pi/3) + sinx = 0

Bài 4 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+s\text{inx}=0;$

b) ${\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4};$

c) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+2{\sin }^{2}x=1.$

Trả lời

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+s\text{inx}=0$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-s\text{inx}$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+x+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \end{array}\right)$

$$\begin{gathered} \iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ 3x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right) \\ \iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

b)${\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

$\iff \frac{1+\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

$\iff 1+\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \left(\begin{array}{c}2x+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ;x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

c) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+2{\sin }^{2}x=1$

$\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+1-\cos 2x=1$

$\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)-\cos 2x=0$

$\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=\cos 2x$

$\iff \left(\begin{array}{c}3x+\frac{\pi }{6}=2x+k2\pi \\ 3x+\frac{\pi }{6}=-2x+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 5x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân