Sách bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số
Lời giải:
Ta có: n+12n+1=815
Suy ra 15(n + 1) = 8(2n + 1), hay 15n + 15 = 16n + 8, nên n = 7.
Vậy 815 là số hạng thứ bảy của dãy số.
Lời giải:
Bốn số hạng đầu tiên của dãy un là:
u1 = ‒2;
u2=−2−1−2=−32;
u3=−2−1−32=−43;
u4=−2−1−43=−54;
Ta dự đoán được số hạng tổng quát của dãy số (un) là un=−n+1n
Lời giải:
Ta có:
u2 = u1 + 1 = 4 + 1 = 5;
u3 = u2 + 2 = 5 + 2 = 7;
u4 = u3 + 3 = 7 + 3 = 10
Do đó, số hạng thứ năm của dãy số là u5 = u4 + 4 = 10 + 4 = 14.
Bài 4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (un) với un = (‒1)n.
Lời giải:
Ta có:
u1 = (‒1)1 = −1; u3 = (‒1)3 = −1; …
u2 = (‒1)2 = 1; u4 = (‒1)4 = 1; …
Do đó ‒1 ≤ un ≤ 1, suy ra (un) là dãy bị chặn.
Lời giải:
a) Số hạng tổng quát của (un) là un=2n−133n−2 nên un+1=2(n+1)−133(n+1)−2=2n−113n+1
Xét un+1−un=2n−113n+1−2n−133n−2
=(2n−11)(3n−2)−(2n−13)(3n+1)(3n+1)(3n−2)
=6n2−37n+22−(6n2−37n−13)(3n+1)(3n−2)
=35(3n+1)(3n−2)>0,∀n∈ℕ*.
Suy ra un+1 > un, ∀n ∈ ℕ*. Suy ra (un) là dãy số tăng.
Mặt khác, ta có: un=2n−133n−2=23(3n−2)−3533n−2=23−353(3n−2)
⦁ Do n≥1⇒3n−2≥1⇒353(3n−2)≤353⇒23−353(3n−2)≥23−353=−11
⦁ Do n≥1⇒3n−2≥1>0⇒353(3n−2)>0⇒23−353(3n−2)<23
Suy ra −11≤un<23,∀n∈ℕ*, suy ra (un) là dãy số bị chặn.
b) Số hạng tổng quát của (un) là un=n2+3n+1n+1
Nên un+1=(n+1)2+3(n+1)+1(n+1)+1=n2+5n+5n+2
un+1−un=n2+5n+5n+2−n2+3n+1n+1
=(n2+5n+5)(n+1)−(n2+3n+1)(n+2)(n+1)(n+2)
=n3+n2+5n2+5n+5n+5−(n3+2n2+3n2+6n+n+2)(n+1)(n+2)
=n2+3n+3(n+1)(n+2)>0,∀n∈ℕ*
Suy ra un+1 > un, ∀n ∈ ℕ*. Suy ra (un) là dãy số tăng.
Mặt khác, ta có un>n2+2n+1n+1=n+1≥2,∀n∈ℕ*. Suy ra (un) là dãy số bị chặn dưới.
c) Số hạng tổng quát của (un) là un=1√1+n+n2
Nên un+1=1√1+(n+1)+(n+1)2=1√n2+3n+3
Ta có un > 0, ∀n ∈ ℕ* nên un+1un=1√n2+3n+31√n2+n+1=√n2+n+1n2+3n+3<1,∀n∈ℕ*.
Suy ra un+1 < un, ∀n ∈ ℕ*. Suy ra (un) là dãy số giảm.
Mặt khác, ta có n≥1; n2≥1 ⇒1+n+n2≥3⇒1√1+n+n2≤1√3 0<un≤1√3,∀n∈ℕ*. Suy ra (un) là dãy số bị chặn.
Lời giải:
a) Ta có: un+1−un=[(n+1)−√(n+1)2−1]−(n+√n2−1)
=1−√(n+1)2−1−√n2−1<0,∀n∈ℕ*
Suy ra (un) là dãy số giảm.
b) Xét un=n+(−1)nn2, ta có: u1=0;u2=34;u3=29,suy ra {u2>u1u3<u2.
Do đó, (un) là dãy số không tăng, không giảm.
c) Ta có
un+1−un=3n+1−12n+1−3n−12n=3.3n−12n+1−2.3n−22n+1=3n+12n+1>0,∀n∈ℕ*
Do đó, (un) là dãy số tăng.
Lời giải:
Ta có: un=1+122+132+…+1n2;un+1=1+122+132+…+1n2+1(n+1)2
Suy ra un+1−un=1(n+1)2>0,∀n∈ℕ*. Suy ra (un) là dãy số tăng.
Do un<1+11⋅2+12⋅3+…+1(n−1)n=2−1n, suy ra 1 < un < 2, ∀n ∈ ℕ*.
Suy ra (un) là dãy số bị chặn.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: