Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) sin^2(x + pi/8) - sin^2(x - pi/8) = căn 2 /2 sin2x

Bài 3 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x;$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

Trả lời

a) ${\text{sin}}^2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-{\text{sin}}^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)$

$=\left(\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)+\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right)\left(\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right)$

$$\begin{gathered} =\left(2\text{sin}x\text{cos}\frac{\pi }{8}\right)\left(2\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi }{8}\right) \\ =\left(2\text{sin}x\text{cos}x\right)\left(2\text{cos}\frac{\pi }{8}\text{sin}\frac{\pi }{8}\right) \end{gathered}$$

$=\text{sin}2x\text{sin}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}2x$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

⇔ 2cosxcosycos(x ‒ y) ‒ cos²(x ‒ y) = cos²x ‒ sin²y

$$\begin{gathered} =\text{cos}\left(x-y\right)\left(2\text{cos}x\text{cos}y-\text{cos}\left(x-y\right)\right) \\ =\text{cos}\left(x-y\right)\text{cos}x\text{cos}y-\text{sin}x\text{sin}y \end{gathered}$$

$=\text{cos}\left(x-y\right)\text{cos}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}\left(\text{cos}2y+\text{cos}2x\right)$

$=\frac{1}{2}\left(1-2{\text{sin}}^{2}y+2{\text{cos}}^{2}x-1\right)={\text{cos}}^{2}x-{\text{sin}}^{2}y.$

a) ${\text{sin}}^2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-{\text{sin}}^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)$

$=\left(\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)+\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right)\left(\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right)$

$$\begin{gathered} =\left(2\text{sin}x\text{cos}\frac{\pi }{8}\right)\left(2\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi }{8}\right) \\ =\left(2\text{sin}x\text{cos}x\right)\left(2\text{cos}\frac{\pi }{8}\text{sin}\frac{\pi }{8}\right) \end{gathered}$$

$=\text{sin}2x\text{sin}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}2x$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

⇔ 2cosxcosycos(x ‒ y) ‒ cos²(x ‒ y) = cos²x ‒ sin²y

$$\begin{gathered} =\text{cos}\left(x-y\right)\left(2\text{cos}x\text{cos}y-\text{cos}\left(x-y\right)\right) \\ =\text{cos}\left(x-y\right)\text{cos}x\text{cos}y-\text{sin}x\text{sin}y \end{gathered}$$

$=\text{cos}\left(x-y\right)\text{cos}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}\left(\text{cos}2y+\text{cos}2x\right)$

$=\frac{1}{2}\left(1-2{\text{sin}}^{2}y+2{\text{cos}}^{2}x-1\right)={\text{cos}}^{2}x-{\text{sin}}^{2}y.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân