Giải SBT Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 1

Sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 1

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác $\frac{13\pi }{7}$ có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác nào sau đây?

A. $\frac{6\pi }{7}.$

B. $\frac{20\pi }{7}.$

C. $-\frac{\pi }{7}.$

D. $\frac{19\pi }{14}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Câu 2 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác của góc lượng giác có số đo ‒830° thuộc góc phần tư thứ mấy?

A. Góc phần tư thứ I.

B. Góc phần tư thứ II.

C. Góc phần tư thứ III.

D. Góc phần tư thứ IV.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Câu 3 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các khẳng định sai, khẳng định nào là sai?

A. cos(π ‒ x) = ‒cosx.

B.$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\cos x.$

C. tan(π + x) = tanx.

D. $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Câu 4 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\cos \alpha =\frac{1}{3}.$ Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không thể xảy ra?

A. $\sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

B. $\cos 2\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{9}.$

C. $\cot \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}.$

D. $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Câu 5 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y = tanx ‒ 2cotx.

B. $y=\sin \frac{5\pi -x}{2}.$

C. 3sin²x + cos2x.

D. $y=\cot \left(2x+\frac{\pi }{5}\right).$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Câu 6 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)?$

A. y =sinx.

B. y = ‒cotx.

C. y = tanx.

D. y = cosx.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Câu 7 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin \alpha =-\frac{3}{5}$ và $\cos \alpha =\frac{4}{5}.$ Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}.$

B. $\sin 2\alpha =-\frac{12}{25}.$

C. $\tan \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{31}{17}.$

D. $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Câu 8 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ và $\cos \beta =\frac{1}{3}.$ Giá trị của biểu thức sin(α + β)sin(α ‒ β) bằng

A. $\frac{7}{12}.$

B. $\frac{1}{12}.$

C. $\frac{\sqrt{15}}{12}.$

D. $\frac{7}{144}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Câu 9 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên đoạn [0; 8π] là:

A. 14.

B. 15.

C. 16.

D. 17.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

$\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=-\frac{\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Trường hợp 1: $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ và x ∈ [0; 8π]

Suy ra $0\le -\frac{\pi }{12}+k\pi \le 8\pi$

$\iff \frac{1}{12}\le k\le \frac{97}{12}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2; …; 8}

Do đó trong trường hợp này, phương trình có 8 nghiệm trên đoạn [0; 8π].

Trường hợp 2: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$và x ∈ [0; 8π]

Suy ra $0\le \frac{\pi }{4}+k\pi \le 8\pi$

$\iff \frac{-1}{4}\le k\le \frac{31}{4}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 7}

Do đó trong trường hợp này, phương trình có 8 nghiệm trên đoạn [0; 8π].

Vậy số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên đoạn [0; 8π] là: 8 + 8 =16 nghiệm.

Câu 10 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình $\tan \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=\tan \frac{3\pi }{8}$ trên đoạn [‒6π; π] là:

A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

$\tan \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=\tan \frac{3\pi }{8}$

$\iff \frac{\pi }{6}-x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=-\frac{5\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Do nghiệm của phương trình nằm trên đoạn [‒6π; π] nên ta có:

$-6\pi \le -\frac{5\pi }{24}+k\pi \le \pi$

$\iff -\frac{139}{24}\le k\le \frac{29}{24}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {‒5; ‒4; ‒3; ‒2; ‒1; 0; 1}

Vậy phương trình $\tan \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=\tan \frac{3\pi }{8}$ có 7 nghiệm trên đoạn [‒6π; π].

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin2α;

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right);$

c) $\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right).$

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

Ta có: sin2α = 2sinαcosα

$=2\cdot \frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)=-\frac{3\sqrt{7}}{8}.$$-\frac{3\sqrt{7}}{8}$

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$

$=\frac{-\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{1}{2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{8}.$

c) $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=-\frac{3}{\sqrt{7}}$

$\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan 2\alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan 2\alpha \tan \frac{\pi }{4}}$

Mà $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{1-{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2}$$=\frac{2\cdot \frac{-3}{\sqrt{7}}}{1-{\left(\frac{-3}{\sqrt{7}}\right)}^2}=3\sqrt{7}$

Nên $\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan 2\alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan 2\alpha \tan \frac{\pi }{4}}$$=\frac{3\sqrt{7}-1}{1+3\sqrt{7}\cdot 1}=\frac{3\sqrt{7}-1}{3\sqrt{7}+1}$

Bài 2 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.

a) $y=3\sin x+2\tan \frac{x}{3};$

b) $y=\cos x\sin \frac{\pi -x}{2}.$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là $D=ℝ\setminus \left(\frac{3\pi }{2}+k3\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì x ± 6π ∈ D với mọi x ∈ D và $3\text{sin}\left(x+6\pi \right)+2\text{tan}\frac{x+6\pi }{3}=3\text{sin}x+2\text{tan}\left(\frac{x}{3}+2\pi \right)=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$

nên hàm số là hàm số tuần hoàn.

Vì ‒x ∈ D với mọi x ∈ D và $3\text{sin}\left(-x\right)+2\text{tan}\left(-\frac{x}{3}\right)=-3\text{sin}x-2\text{tan}\frac{x}{3}=-\left(3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}\right)$

nên hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ có tập xác định là .

Vì x ± 4π ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và $\text{cos}\left(x+4\pi \right)\text{sin}\frac{\pi -\left(x+4\pi \right)}{2}=\text{cos}x\text{sin}\left(\frac{\pi -x}{2}-2\pi \right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

nên hàm số là hàm số tuần hoàn.

Vì ‒x ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và $\text{cos}\left(-x\right)\text{sin}\frac{\pi +x}{2}=\text{cos}x\text{sin}\left(\pi -\frac{\pi -x}{2}\right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

nên hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ là hàm số chẵn.

Bài 3 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x;$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

Lời giải:

a) ${\text{sin}}^2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-{\text{sin}}^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)$

$=\left(\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)+\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right)\left(\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right)$

$$\begin{gathered} =\left(2\text{sin}x\text{cos}\frac{\pi }{8}\right)\left(2\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi }{8}\right) \\ =\left(2\text{sin}x\text{cos}x\right)\left(2\text{cos}\frac{\pi }{8}\text{sin}\frac{\pi }{8}\right) \end{gathered}$$

$=\text{sin}2x\text{sin}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}2x$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

⇔ 2cosxcosycos(x ‒ y) ‒ cos²(x ‒ y) = cos²x ‒ sin²y

$$\begin{gathered} =\text{cos}\left(x-y\right)\left(2\text{cos}x\text{cos}y-\text{cos}\left(x-y\right)\right) \\ =\text{cos}\left(x-y\right)\text{cos}x\text{cos}y-\text{sin}x\text{sin}y \end{gathered}$$

$=\text{cos}\left(x-y\right)\text{cos}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}\left(\text{cos}2y+\text{cos}2x\right)$

$=\frac{1}{2}\left(1-2{\text{sin}}^{2}y+2{\text{cos}}^{2}x-1\right)={\text{cos}}^{2}x-{\text{sin}}^{2}y.$

Bài 4 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+s\text{inx}=0;$

b) ${\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4};$

c) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+2{\sin }^{2}x=1.$

Lời giải:

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+s\text{inx}=0$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-s\text{inx}$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+x+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}-x+k2\pi \end{array}\right)$

$$\begin{gathered} \iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ 3x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right) \\ \iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

b)${\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

$\iff \frac{1+\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

$\iff 1+\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \left(\begin{array}{c}2x+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ;x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).$

c) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+2{\sin }^{2}x=1$

$\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+1-\cos 2x=1$

$\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)-\cos 2x=0$

$\iff \cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=\cos 2x$

$\iff \left(\begin{array}{c}3x+\frac{\pi }{6}=2x+k2\pi \\ 3x+\frac{\pi }{6}=-2x+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 5x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\end{array}\right)\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=-\frac{\pi }{30}+\frac{k2\pi }{5}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Bài 5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Vận tốc v₁ (cm/s) của con lắc đơn thứ nhất và vận tốc v₂ (cm/s) của con lắc đơn thứ hai theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức:

$v_1\left(t\right)=-4\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)$ và $v_2\left(t\right)=2\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right).$

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2 cm/s;

b) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp 2 lần vận tốc của con lắc đơn thứ 2.

Lời giải:

a) Thời điểm t mà tại đó vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2 cm/s là nghiệm của phương trình:

$-4\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=2$

$\iff \cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff t=\frac{13\pi }{8}+k3\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $t=\frac{5\pi }{8}+k3\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b) Thời điểm t mà tại vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp 2 lần vận tốc của con lắc đơn thứ 2 là nghiệm của phương trình:

$-4\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=2\cdot 2\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff -\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff t=\frac{19\pi }{16}+k\frac{3\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ và $t=\frac{13\pi }{32}+k\frac{3\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân