Sách bài tập Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị
Bài 1 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Lời giải:
a) y=−2sin3x xác định khi sin3x ≠ 0, tức là 3x ≠ kπ, k ∈ ℤ hay x≠kπ3,k∈ℤ
Vậy tập xác định của hàm số là ℝ∖{kπ3∣k∈ℤ}
b) y=tan(x2−π6) xác định khi x2−π6≠π2+kπ,k∈ℤ, hay x≠4π3+k2π,k∈ℤ.
Vậy tập xác định của hàm số là ℝ∖{4π3+k2π∣k∈ℤ}.
c) y=cot(2x−π4) xác định khi 2x−π4≠kπ,k∈ℤ hay x≠π8+kπ2,k∈ℤ.
Vậy tập xác định của hàm số là ℝ∖{π8+kπ2∣k∈ℤ}.
d) Vì ‒1 ≤ cosx ≤ 1 nên cos2x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Suy ra cos2 ≠ 3 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó hàm số y=13−cos2x xác định với mọi x ∈ ℝ.
Vậy tập xác định của hàm số là ℝ.
Bài 2 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số y=sin3xx là D=ℝ∖(0) thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Ta có sin(3(−x))−x=sin(−3x)−x=−sin3x−x=sin3xx.
Vậy hàm số y=sin3xx là hàm số chẵn.
b) Tập xác định của hàm số y=−5x2+cosx2 là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Ta có −5(−x)2+cos(−x2)=−5x2+cosx2.
Vậy hàm số y=−5x2+cosx2 là hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số y=x√1+cos2x là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Ta có (−x)√1+cos(−2x)=−x√1+cos2x.
Vậy hàm số y=x√1+cos2x là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số y=cotx−2sinx là D=ℝ∖(kπ∣k∈ℤ) thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Ta có cot(−x)−2sin(−x)=−cotx+2sinx=−(cotx−2sinx).
Vậy hàm số y=cotx−2sinx là hàm số lẻ.
e) Tập xác định của hàm số y=(x)+tanx là D=ℝ∖(π2+kπ∣k∈ℤ) thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.
Đặt f(x)=(x)+tanx. Xét hai giá trị π4 và -π4 thuộc D, ta có:
f(π4)=(π4)+tanπ4=π4+1và f(−π4)=(−π4)+tan(−π4)=π4−1.
Do f(−π4)≠f(π4) và f(−π4)≠−f(π4) nên y=(x)+tanx không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
g) Tập xác định của hàm số y=tan(x+π4) là D=ℝ∖(π4+kπ∣k∈ℤ) không thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D vì −π4∈D mà π4∉D.
Vậy hàm số y=tan(x+π4) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Bài 3 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
Lời giải:
a) y=5−2cos(π3−x)
TXĐ: D = ℝ.
Ta có −1≤cos(π3−x)≤1
⇔2≥−2cos(π3−x)≥−2
⇔7≥5−2cos(π3−x)≥3
Vậy tập giá trị của hàm số là [3; 7].
b) y=(sin3x)−1;
TXĐ: D = ℝ.
Ta có: 0≤(sin3x)≤1
⇒−1≤(sin3x)−1≤0
Vậy tập giá trị của hàm số là [−1; 0].
c) y = 2tanx + 3
TXĐ: D = ℝ.
Ta có tập giá trị của tanx là ℝ nên tập giá trị của hàm số cũng là ℝ.
d) y=√1−sinx+2
Ta có −1≤sinx≤1 nên 2≥1−sinx≥0 nên hàm số xác định trên ℝ
Khi đó 0≤√1−sinx≤√2
Suy ra 2≤√1−sinx+2≤√2+2
Vậy tập giá trị của hàm số là (2;2+√2) .
Bài 4 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = sinx với x ∈ [‒2π; 2π]
b) Tìm các giá trị của x∈(−5π3;7π3) sao cho sin(π3−x)=−1.
c) Tìm các giá trị của x∈(−9π8;7π8) sao cho sin(2x+π4)>0.
d) Tìm m để có 4 giá trị α ∈ [‒2π; 2π] phân biệt thỏa mãn sinα = m.
Lời giải:
a) Ta có đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π] như sau:
b) Đặt t=π3−x. Vì −5π3≤x≤7π3 nên ‒2π ≤ t ≤ 2π.
Từ đồ thị của hàm số ở trên, ta có:
sint = ‒1 khi và chỉ khi t=−π2 hoặc t=3π2. Do đó x=5π6 hoặc x=−7π6.
c) Đặt t=2x+π4. Vì −9π8≤x≤7π8 nên ‒2π ≤ t ≤ 2π.
Từ đồ thị của hàm số ở trên, ta có:
sint > 0 khi và chỉ khi ‒2π < t < ‒π hoặc 0 < t < π.
Do đó −9π8<x<−5π8 hoặc −π8<x<3π8.
d) Có bốn giá trị α∈ [‒2π; 2π] thoả mãn sinα = m khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = sinα tại bốn điểm. Từ đồ thị hàm số ở trên, ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi ‒1 < m < 0 hoặc 0 < m < 1.
Bài 5 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = tanx với x∈(−3π2;−π2)∪(−π2;π2).
b) Tìm các giá trị của x∈(−7π4;π4) sao cho √3tan(x+π4)+1=0.
c) Tìm các giá trị của x∈(−5π6;π6) sao cho tan(2x+π6)≥−√33.
Lời giải:
a) Ta có đồ thị của hàm số y=tanx với x∈(−3π2;−π2)∪(−π2;π2) như sau:
b) Ta có √3tan(x+π4)+1=0 khi và chỉ khi tan(x+π4)=−√33.
Đặt t=x+π4. Vì −7π4≤x≤π4 nên −3π2≤t≤π2, hay t∈(−3π2;π2).
Hàm số y = tant xác định khi t≠π2+kπ,k∈ℤ. Kết hợp với điều kiện
t∈(−3π2;π2), suy ra t∈(−3π2;−π2)φ(−π2;π2).
Đồ thị hàm số y = tant với t∈(−3π2;−π2)∪(−π2;π2) như sau:
Từ đồ thị hàm số trên, ta có:
tant=−√33 khi và chỉ khi t=−7π6 hoặc t=−π6.
Do đó x=−17π12 hoặc x=−5π12.
c) Đặt t=2x+π6. Vì −5π6≤x≤π6 nên −3π2≤t≤π2, hay t∈(−3π2;π2).
Tương tự câu , từ đồ thị hàm số trên, ta có:
tant≥−√33 khi và chỉ khi −7π6≤t<−π2 hoặc −π6≤t<π2.
Do đó −2π3≤x<−π3 hoặc −π6≤x<π6.
Bài 6 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn.
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là D=ℝ∖(π+k2π∣k∈ℤ).
Với mọi x ∈ D, ta có:
x±2π∈Dvà sin(x+2π)−3tanx+2π2=sinx−3tan(x2+π)=sinx−3tanx2.
Do đó hàm số y=sinx−3tanx2 là hàm số tuần hoàn.
b) Hàm số y=(cos2x−1)sinx có tập xác định làℝ.
Với mọi x ∈ ℝ, ta có: x ± 2π ∈ ℝ;
(cos2(x+2π)−1)sin(x+2π)=(cos(2x+4π)−1)sinx=(cos2x−1)sinx.
Do đó hàm số y = (cos2x ‒ 1)sinx là hàm số tuần hoàn.
a) Chứng minh p(t) là một phần hàm số tuần hoàn.
Lời giải:
a) Hàm số p(t) có tập xác định làℝ. Với mọi t ∈ ℝ, ta có t±175∈ℝ và p(t+175)=120+15cos(150πt+2π)=120+15cos150πt=p(t).
Do đó p(t) là một hàm số tuần hoàn.
b) Vì ‒1 ≤ cos150πt ≤ 1 với mọi t ∈ ℝ nên 105 ≤ p(t) ≤ 135 với mọi t ∈ ℝ.
Vậy chỉ số huyết áp của người đó là 135/105.
Lời giải:
Trong 4 giây đầu, ta có 0 ≤ t ≤ 4, suy ra 0≤π2t≤2π.
Đặt x=π2t, khi đó x ∈ [0; 2π]. Đồ thị của hàm số y = sĩn trên đoạn [0; 2π] như sau:
Dựa vào đồ thị trên đoạn [0; 2π], ta có: s≤−32 khi 3sinx≤−32 hay sinx≤−12
Suy ra 7π6≤x≤11π6. Do đó 73≤t≤113.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Bài 3: Các công thức lượng giác
Bài 5: Phương trình lượng giác