Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó

Bài 2 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.

a) $y=3\sin x+2\tan \frac{x}{3};$

b) $y=\cos x\sin \frac{\pi -x}{2}.$

Trả lời

a) Tập xác định của hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là $D=ℝ\setminus \left(\frac{3\pi }{2}+k3\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì x ± 6π ∈ D với mọi x ∈ D và $3\text{sin}\left(x+6\pi \right)+2\text{tan}\frac{x+6\pi }{3}=3\text{sin}x+2\text{tan}\left(\frac{x}{3}+2\pi \right)=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$

nên hàm số là hàm số tuần hoàn.

Vì ‒x ∈ D với mọi x ∈ D và $3\text{sin}\left(-x\right)+2\text{tan}\left(-\frac{x}{3}\right)=-3\text{sin}x-2\text{tan}\frac{x}{3}=-\left(3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}\right)$

nên hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ có tập xác định là .

Vì x ± 4π ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và $\text{cos}\left(x+4\pi \right)\text{sin}\frac{\pi -\left(x+4\pi \right)}{2}=\text{cos}x\text{sin}\left(\frac{\pi -x}{2}-2\pi \right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

nên hàm số là hàm số tuần hoàn.

Vì ‒x ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và $\text{cos}\left(-x\right)\text{sin}\frac{\pi +x}{2}=\text{cos}x\text{sin}\left(\pi -\frac{\pi -x}{2}\right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

nên hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ là hàm số chẵn.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân