Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13. a) Tam giác ABC có góc tù không

Bài 3 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13.

a) Tam giác ABC có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.

Trả lời

a) Áp dụng định lí côsin ta có: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{8^2+{10}^2-{13}^2}{\mathrm{2.8.10}}=\frac{-1}{32}$

$\Rightarrow \widehat{C}\approx 91°47\text{'}$ > 90°

Vậy tam giác ABC có góc $\widehat{ACB}$ là góc tù.

b) Vì M là trung điểm của CB (vì AM là đường trung tuyến ) nên

CM = MB = 8 : 2 = 4 cm

Áp dụng định lí côsin ta có:

$$\begin{gathered} A{M}^2=A{C}^2+C{M}^2-2AC.CM.\cos C \\ ={10}^2+4^2-\mathrm{2.10.4.}\left(\frac{-1}{32}\right)=\frac{237}{2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{474}}{2}$

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\mathrm{.8.10.}\sin \left({91}^0{47}^{\text{'}}\right)\approx 39,98$

$\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{8.10.13}}{4.39,98}\approx 6,5$

Vì D đối xứng với A qua C nên $\widehat{BCD}=180°-\widehat{BCA}$

Áp dụng định lí côsin ta có:

$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2.BC.CD.\cos (180°-\widehat{BCA})$

$=B{D}^2+C{D}^2-2BC.CD.(-\cos \widehat{BCA})$

$=8^2+{10}^2-\mathrm{2.8.10.}\frac{1}{32}=159$

$\Rightarrow BD=\sqrt{159}$

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 3: Tích của một số với một vectơ