Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cotA + cotB + cotC = [R(a^2 + b^2 + c^2)] / abc

Bài 7 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

cotA + cotB + cotC = $\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}$

Trả lời

Ta có:     cotA + cot B + cot C

$=\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}$

Mà áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\begin{array}{l}\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{array}$

$\Rightarrow \cot A+\cot B+\cot C=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc.\sin A}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac.\sin B}+\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab.\sin C}$ (1)

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\sin B$ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được:

$\cot A+\cot B+\cot C=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S_{ABC}}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S_{ABC}}+\frac{b^2+a^2-c^2}{4S_{ABC}}$

                                $=\frac{b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{4S_{ABC}}$

                               $=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S_{ABC}}$

                                $=\frac{a^2+b^2+c^2}{4.\frac{abc}{4R}}=\frac{R.(a^2+b^2+c^2)}{abc}$ (đpcm)

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 3: Tích của một số với một vectơ