Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a căn bậc hai 3 và AD = a. Đường thẳng
22
30/04/2024
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 3 \) và \(AD = a\). Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD bằng.
A. \(\frac{{5\pi {a^3}\sqrt 5 }}{6}\)
B. \(\frac{{5\pi {a^3}\sqrt 5 }}{{24}}\)
C. \(\frac{{3\pi {a^3}\sqrt 5 }}{{25}}\)
D. \(\frac{{3\pi {a^3}\sqrt 5 }}{8}\)
Trả lời
Đáp án A
Phương pháp:
+) Xác định trục d của mặt phẳng (ABCD).
+) Xác định đường trung trực d’ của SA sao cho d và d’ đồng phẳng.
+) Gọi \(I = d \cap d' \Rightarrow \) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Cách giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, từ O dựng đường thẳng song song với SA và cắt SC tại trung điểm I của , suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD.
Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}OI = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\\OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\end{array} \right.\)
Theo bài ra ta có: \(R = IC = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Vậy thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt 5 }}{6}\)