Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2). a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB

Bài 8 trang 45 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.

b) Tính chu vi tam giác OAB.

c) Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Trả lời

a) Vì D thuộc trục Ox nên tung độ của D bằng 0. Gọi D(d; 0).

Ta có: $\overrightarrow{AD}$ = (d – 1; -3) ⇒ AD = $\sqrt{{\left(d-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{d^2-2d+10}$;

$\overrightarrow{BD}$ = (d – 4; -2) ⇒ BD = $\sqrt{{\left(d-4\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{d^2-8d+20}$;

Vì AD = BD nên $\sqrt{d^2-2d+10}=\sqrt{d^2-8d+20}$

⇒ d² – 2d + 10 = d² – 8d + 20

⇒ 6d = 10

⇒ d = $\frac{5}{3}$

Vậy $D\left(\frac{5}{3};0\right)$.

b) Ta có: $\overrightarrow{OA}$ = (1; 3) ⇒ OA = $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$;

$\overrightarrow{OB}$ = (4; 2) ⇒ OB = $\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$;

$\overrightarrow{AB}$ = (3; -1) ⇒ AB = $\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2}=\sqrt{10}$.

Chu vi tam giác OAB là:

OA + OB + AB = $\sqrt{10}$ + $2\sqrt{5}$+ $\sqrt{10}$ = 2$\sqrt{10}$+ $2\sqrt{5}$

Vậy chu vi tam giác OAB là 2$\sqrt{10}$+ $2\sqrt{5}$.

c) Ta có $\overrightarrow{OA}$.$\overrightarrow{AB}$ = 1.3 + 3.(-1) = 3 – 3 = 0.

Do đó OA ⊥ AB

Suy ra tam giác OAB vuông tại A.

Diện tích tam giác OAB là:

$\frac{1}{2}$.OA.AB = $\frac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10}=5$.

Vậy diện tích tam giác OAB là 5.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ