Khai triển và rút gọn các biểu thức sau: (2+căn bậc hai của 2)^4

Bài 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4$;

b) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4+{\left(2-\sqrt{2}\right)}^4$;

c) ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5$.

Trả lời

a) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4$

= $C_4^0{2}^4+C_4^1{.2}^3\left(\sqrt{2}\right)+C_4^2{.2}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.2.}{\left(\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(\sqrt{2}\right)}^4$

= 16 + 32$\sqrt{2}$ + 48 + 16$\sqrt{2}$ + 4
$=68+48\sqrt{2}$.

Vậy ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4=68+48\sqrt{2}$.

b) Ta có:

${\left(2-\sqrt{2}\right)}^4$

= $C_4^0{2}^4+C_4^1{.2}^3\left(-\sqrt{2}\right)+C_4^2{.2}^2{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.2.}{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(-\sqrt{2}\right)}^4$

= 16 – 32$\sqrt{2}$ + 48 – 16$\sqrt{2}$ + 4

$=68-48\sqrt{2}$.

Khi đó: ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4+{\left(2-\sqrt{2}\right)}^4=68+48\sqrt{2}+68-40\sqrt{2}=136.$

c) ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5$

$=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4\left(-\sqrt{3}\right)+C_5^2{.1}^3{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+C_5^3{.1}^2.{\left(-\sqrt{3}\right)}^3+C_5^4{.1}^1{\left(-\sqrt{3}\right)}^4+C_5^5.{\left(-\sqrt{3}\right)}^5$

$=1-5\sqrt{3}+30-30\sqrt{3}+45-9\sqrt{3}$

$=76-44\sqrt{3}$.

Vậy ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5=76-44\sqrt{3}.$

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 3: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ