22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng

Câu 1:

Giải phương trình sinx-cosx+14sinxcosx=1

Đặt $t = \sin x - \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} .$

Khi đó phương trình (1) trở thành $t + 7 (1 - t^{2}) = 1 \Leftrightarrow 7 t^{2} - t - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{6}{7} \end{array} .$

- Nếu $t = 1$ thì $\sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = π + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

- Nếu $t = - \frac{6}{7}$ thì $\sin x - \cos x = \frac{- 6}{7}$

$\Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{4} - \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm $x = \frac{π}{2} + k 2 π; x = π + k 2 π$

$x = \frac{π}{4} + \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π; x = \frac{5 π}{4} - \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 2:

Giải phương trình $\sin^{3} x + \cos^{3} x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2 x . (2)$

Xem đáp án

$(2) \Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (\sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x) = 3 \sin x \cos x$

$\Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (1 - \sin x \cos x) = 3 \sin x \cos x . (*)$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Khi đó phương trình (*) trở thành $1 + t (1 - \frac{t^{2} - 1}{2}) = 3. \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Leftrightarrow t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 5 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t^{2} + 2 t - 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 1 - \sqrt{6} < - \sqrt{2} \\ t = - 1 + \sqrt{6} > \sqrt{2} \end{array} \Rightarrow t = - 1.$

Suy ra $\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} c o s (x - \frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow c o s (x - \frac{π}{4}) = c o s \frac{3 π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = π + k 2 π \\ x = \frac{- π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm $x = π + k 2 π; x = \frac{- π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 3:

Cho phương trình $- \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x + 1 = 0$ . Đặt $t = \sin x + \cos x,$ ta được phương trình nào dưới đây?

A.

t^{2} + \sqrt{2} t = 0.

B.

t^{2} + \sqrt{2} t + 2 = 0.

C.

t^{2} - \sqrt{2} t = 0.

D.

t^{2} - \sqrt{2} t - 2 = 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $- \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x + 1 = 0 (1)$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có

\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t^{2} - \sqrt{2} t = 0.

Câu 4:

Nếu $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2$ thì $c o s (x - \frac{π}{4})$ nhận giá trị là

A. -1

B. 1.

C.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2 \Leftrightarrow \cos x + \sin x + \sin x \cos x = 1.$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} (1) \Rightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = 1.$

Với $t = 1,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 5:

Phương trình sinx-cosx+2sin2x+1=0 có nghiệm là

A.

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{3 π}{2} + k π \end{array}, k \in ℤ .

C.

x = \frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

D. Vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin x - \cos x + 2 \sin 2 x + 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x - \cos x + 2 \sin 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x - \cos x + 4 \sin x \cos x + 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t + 2 (1 - t^{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} - t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = \frac{3}{2} \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{- π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x - \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 6:

Cho phương trình sin2x-2(sinx-cosx)-2=0 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là

A.

x = \frac{π}{2} .

B. x=0

C.

x = \frac{3 π}{2} .

D.

x = \frac{5 π}{6} .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin 2 x - 2 (\sin x - \cos x) - 2 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x - 2 (\sin x - \cos x) - 2 = 0 \Leftrightarrow 2 (\sin x - \cos x) - 2 \sin x \cos x + 2 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2 t - (1 - t^{2}) + 2 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{- π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x - \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{3 π}{2} .$

Câu 7:

Phương trình sin2xx+2(cosx-sinx)-1=0 có nghiệm là

A.

x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .

B.

x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ .

C.

x = - \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .

D. Vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin 2 x + 2 (\cos x - \sin x) - 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x + 2 (\cos x - \sin x) - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x - 2 (\sin x - \cos x) - 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 1 - t^{2} - 2 t - 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = - 2 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = 0.$

Với $t = 0,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .$

Câu 8:

Cho phương trình $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x .$ Nếu $t = \sin x + \cos x$ thì giá trị của t thỏa mãn $|t| \leq \sqrt{2}$ là

A. -1

B.

\sqrt{2} .

C.

- \sqrt{2} .

D.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x$ có nghĩa $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π \\ \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π \end{cases} \Leftrightarrow x \neq k \frac{π}{2} .$

Ta có $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{1}{\sin x \cos x} . (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow \sqrt{2} t = \frac{2}{t^{2} - 1} \Leftrightarrow \sqrt{2} t^{3} - \sqrt{2} t - 2 = 0 (t \neq 1) \Leftrightarrow t = \sqrt{2} .$

Câu 9:

Cho phương trình sin2x+4(sinx-cosx)-5 Số nghiệm của phương trình thỏa mãn

0 < x < π

là

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin 2 x + 4 (\sin x - \cos x) - 5 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x + 4 (\sin x - \cos x) - 5 = 0 \Leftrightarrow 4 (\sin x - \cos x) + 2 \sin x \cos x - 5 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 4 t + 1 - t^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm hay không có nghiệm thỏa mãn $0 < x < π .$

Câu 10:

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. $\sqrt{3} \sin 2 x - c o s 2 x = 2.$

B. $\sin 2 x - \sin x + \cos x = 1.$

C.

\sin x = c o s \frac{π}{4} .

D. $\sqrt{3} \sin x - \cos x = - 3.$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\sqrt{3} \sin x - \cos x = - 3$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có ${(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2} < (- 3^{2}) .$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 11:

Cho x thỏa mãn phương trình

\sin 2 x + \sin x - \cos x = 1.

Giá trị lớn nhất tìm được của

\sin (x - \frac{π}{4})

là

A. 0.

B.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\frac{1}{2} .

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin 2 x + \sin x - \cos x = 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x + \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x + 2 \sin x \cos x - 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow t + 1 - t^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 0 \end{array} .$

Với $t = 1,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Với $t = 0,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = 0.$

Vậy giá trị lớn nhất của $\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 12:

Số họ nghiệm của phương trình sin2x-sinx+cosx-1=0 là

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin 2 x - \sin x + \cos x - 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x - \sin x + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x - \cos x - 2 \sin x \cos x + 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow t - (1 - t^{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 0 \end{array} .$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{- π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x - \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Với $t = 0,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .$

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

Câu 13:

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A.

4 (\sin x - \cos x) + \sin 2 x - 5 = 0.

B. $2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0.$

C.

2 (\sin x - \cos x) - \sin 2 x + 2 = 0.

D. $3 \sin x - 2 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $4 (\sin x - \cos x) + \sin 2 x - 5 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $4 (\sin x - \cos x) + \sin 2 x - 5 = 0 \Leftrightarrow 4 (\sin x - \cos x) + 2 \sin x \cos x - 5 = 0.$ (1)

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 4 t + 1 - t^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 14:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x

là

A.

x = - \frac{π}{6} .

B.

x = - \frac{π}{2} .

C.

x = - \frac{3 π}{2} .

D.

x = - \frac{5 π}{6} .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x \cos x - 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow t + \frac{t^{2} - 1}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = 1.$

Với $t = 1,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{3 π}{2} .$

Câu 15:

Số nghiệm của phương trình

2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) - \sin 2 x - 3 = 0

thỏa mãn điều kiện

π < x < 5 π

là

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) - \sin 2 x - 3 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) - \sin 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) - 2 \sin x \cos x - 3 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2 \sqrt{2} t - (t^{2} - 1) - 3 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 \sqrt{2} t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt{2} .$

Với $t = \sqrt{2},$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Do $x \in [π; 5 π]$ nên $x = \frac{9 π}{4}; x = \frac{17 π}{4} .$

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 16:

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

A.

\sqrt{3} \sin x = 2.

B.

\frac{1}{4} c o s 4 x = \frac{1}{2} .

C.

2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + \sin 2 x + 3 = 0.

D.

\cot^{2} x - \cot x + 5 = 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\sqrt{3} \sin x = 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Ta có $\frac{1}{4} \cos 4 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 4 x = 2 > 1 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Ta có

Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1.5 = - 19 < 0 \Rightarrow

Phương trình vô nghiệm.

Câu 17:

Điều kiện để phương trình $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) + m - 2 = 0$ có nghiệm là

A.

m \leq 0.

B. Không có giá trị nào của m.

C.

m \geq 4.

D.

0 \leq m \leq 4.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) + m - 2 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) + m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2.$

Có $- \sqrt{2} \leq \sin x + \cos x \leq \sqrt{2} \Leftrightarrow - 2 \leq \sqrt{2} (\sin x + \cos x) \leq 2$

$\Leftrightarrow - 2 \leq - \sqrt{2} (\sin x + \cos x) \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq - \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \leq 4 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4.$

Câu 18:

Phương trình $3 (\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} \sin 2 x = - 3$ có nghiệm là

A.

x = - \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = π + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

C.

x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

D. Vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $3 (\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} \sin 2 x = - 3$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $3 (\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} \sin 2 x = - 3 \Leftrightarrow 3 (\sin x + \cos x) + \sin x \cos x + 3 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 3 t + \frac{t^{2} - 1}{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 6 t + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 5 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{- π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = π + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 19:

Nghiệm của phương trình 2(sinx+cosx)sin2x+1=0 thỏa mãn điều kiện

0 < x < π

là

A.

x = \frac{3 π}{4} .

B.

x = \frac{- π}{2} .

C.

x = π .

D.

x = \frac{- π}{4} .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $2 (\sin x + \cos x) + \sin 2 x + 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 (\sin x + \cos x) + \sin 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x + 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2 t + t^{2} - 1 + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = - 2 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = 0.$

Với $t = 0,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

$\Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = k π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .$

Do $x \in (0; π)$ nên $x = \frac{3 π}{4} .$

Câu 20:

Từ phương trình

\sin^{3} x + \cos^{3} x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2 x

ta tìm được

c o s (x + \frac{π}{4})

có giá trị bằng

A. -1

B.

\pm \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin^{3} x + \cos^{3} x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2 x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin^{3} x + \cos^{3} x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2 x \Leftrightarrow (\sin x + \cos x) (\sin^{2} x + \sin x \cos x + \cos^{2} x) + 1 = 3 \sin x \cos x$

$\Leftrightarrow (\sin x + \cos x) (1 + \sin x \cos x) + 1 = 3 \sin x \cos x . (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t (1 + \frac{t^{2} - 1}{2}) + 1 = 3 \frac{t^{2} - 1}{2} \Leftrightarrow t^{3} - 3 t^{2} + t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \cos (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 21:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình xcosx-sinx-cosx+m=0 có nghiệm?

A. 1

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin x \cos x - \sin x - \cos x + m = 0 (1)$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow \frac{t^{2} - 1}{2} - t + m = 0 \Leftrightarrow - 2 m = t^{2} - 2 t - 1 \Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} = - 2 m + 2.$

Do $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \Rightarrow - \sqrt{2} - 1 \leq t - 1 \leq \sqrt{2} - 1 \Rightarrow 0 \leq {(t - 1)}^{2} \leq 3 + 2 \sqrt{2} .$

Để phương trình có nghiệm thì $0 \leq - 2 m + 2 \leq 3 + 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow - \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2} \leq m \leq 1.$

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 1; 0; 1\} .$

Câu 22:

Giá trị của m để phương trình m(sinx+cosx)+sin2x=0 có nghiệm là

A. Không có giá trị nào của m

B.

\forall m .

C.

m = - 1.

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $m (\sin x + \cos x) + \sin 2 x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $m (\sin x + \cos x) + \sin 2 x = 0 \Leftrightarrow m (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x = 0$ . (1)

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t^{2} + m t - 1 = 0.$

$Δ = m^{2} + 4 > 0 \Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $t_{1}; t_{2} .$

Theo Vi-ét ta có $t_{1} . t_{2} = - 1.$

Suy ra luôn có ít nhất một nghiệm thỏa mãn $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ .

Vậy phương trình luôn có nghiệm.

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án

Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương