Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án

Dạng 2: Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

  • 279 lượt thi

  • 21 câu hỏi

  • 0 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Giải phương trình  3sin22x+7cos2x3=0.
Xem đáp án

Ta có 3sin22x+7cos2x3=031cos22x+7cos2x3=0

3cos22x7cos2x=0cos2x3cos2x7=0cos2x=03cos2x7=0.

Trường hợp 1: cos2x=02x=π2+kπx=π4+kπ2,k.

Trường hợp 2: 3cos2x7=0cos2x=73>1 (loại).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=π4+kπ2,k.


Câu 2:

Phương trình 2sin2x+sinx3=0  có nghiệm là

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình 2sin2x+sinx3=0  có nghĩa xD=.

Đặt  t=sinx,t1. Ta có 2sin2x+sinx3=02t2+t3=0t=1t=32t=1  (do ).

Với t=1,  ta có sinx=1x=π2+k2πk.

Câu 3:

Với k , phương trình cos2x+2cosx3=0  có nghiệm là

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình cos2x+2cosx3=0  có nghĩa xD=.

Đặt t=cosx,t1.  Ta có  cos2x+2cosx3=0t2+2t3=0t=1t=3t=1(do t1). 

Với t=1,  ta có cosx=1x=k2πk.


Câu 4:

Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin2x+5sinx3=0  

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình 2sin2x+5sinx3=0  có nghĩa

Đặt t=sinx,t1.  Ta có 2sin2x+5sinx3=02t2+5t3=0t=12t=3t=12  (do t1 ).

Với t=12,  ta có sinx=12x=π6+k2πx=5π6+k2πk.

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là x=π6.


Câu 5:

Xét phương trình 3cos2x2cosx4=0  trên đoạn 0;3π.  Chọn câu trả lời đúng.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình 3cos2x2cosx4=0   có nghĩa xD=.

Đặt t=cosx,t1.

Ta có 3cos2x2cosx4=03t22t4=0t=1133t=1+133t=1133 (do t1 ).

Với t=1133,  ta có cosx=1133x=arccos1133+k2πx=arccos1133+k2πk.

x0,3π  nên phương trình chỉ có 3 nghiệm.

x=arccos1133,x=arccos1133+2π,x=arccos1133+2π.


Câu 6:

Nghiệm của phương trình 2sin2x3sinx+1=0  thỏa mãn điều kiện 0x<π2  

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình 2sin2x3sinx+1=0  có nghĩa xD=.

Đặt t=sinx,t1.  Ta có 2sin2x3sinx+1=02t23t+1=0t=12t=1.

Với t=12,  ta có sinx=12x=π6+k2πx=5π6+k2πk.

Với t=1,   ta có sinx=1x=π2+k2πk.

x0;π2  nên x=π6.


Câu 7:

Nghiệm của phương trình tan2x+2tanx+1=0  

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình tan2x+2tanx+1=0  có nghĩa xπ2+kπ.

Đặt xπ2+kπ. . Ta có tan2x+2tanx+1=0t2+2t+1=0t=1.

Với t=1,  ta có tanx=1tanx=tanπ4x=π4+kπk.


Câu 8:

Với k,  phương trình cos22x+cos2x34=0  có nghiệm là

Xem đáp án

Đápn án C

Phương trình cos22x+cos2x34=0  có nghĩa xD=.

Đặt t=cos2x,t1.  Ta có cos22x+cos2x34=0t2+t34=0t=12t=32t=12  (do t1 ).

Với t=12,  ta có cos2x=12=cosπ32x=π3+k2π2x=π3+k2πx=π6+kπx=π6+kπk.

Câu 9:

Với k,  phương trình sin2x2sinx=0  có nghiệm là

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình sin2x2sinx=0  có nghĩa xD=.

Đặt t=sinx,t1.  Ta có sin2x2sinx=0t22t=0t=0t=2t=0  (do t1 ).

Với t=0,   ta có sinx=0x=kπk.


Câu 10:

Nghiệm của phương trình cot23xcot3x2=0  

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình cot23xcot3x2=0  có nghĩa xkπ3.

Đặt t=cot3x.  Ta có cot23xcot3x2=0t2t2=0t=1t=2.

Với t=1,  ta có cot3x=1cot3x=cot3π43x=3π4+kπx=π4+kπ3k.

Với  t=2, ta có cot3x=23x=arccot2+kπx=13arccot2+kπ3k.

Câu 11:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2cos2x+2cosx2=0  

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình 2cos2x+2cosx2=0  có nghĩa xD=.

Ta có 2cos2x+2cosx2=04cos2x2+2cosx2=04cos2x+2cosx22=0.

Đặt   t=cosx,t1.

Ta có 4cos2x+2cosx22=04t2+2t22=0t=22t=236+1628t=22 (do t1 ).

Với t=22,  ta có cosx=22=cosπ4x=±π4+k2πk.

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x=π4.


Câu 12:

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có 3sinx=2sinx=23>1  (vô nghiệm).

Ta có 14cos4x=12cos4x=2>1 (vô nghiệm).

Ta có  22+22<52 nên phương trình 2sinx+3cosx=5  (vô nghiệm)


Câu 13:

Xét phương trình 13sin2x78sinx+15=0  trên đoạn 0;2π.  Lựa chọn phương án đúng.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình 13sin2x78sinx+15=0  có nghĩa xD=.  Đặt   t=sinx,t1.

Ta có 13sin2x78sinx+15=013t278t+15=0t=0,199t=5,801t=0,199  (do t1 ).

Với t=0,199,  ta có sinx=0,199x=arcsin0.199+k2πx=πarcsin0.199+k2πk.

x0;2π  nên phương trình có hai nghiệm.


Câu 14:

Phương trình 3cosx+|sinx|=2 có nghiệm là
Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình 3cosx+2sinx=2  có nghĩa xD=.

Ta có 3cosx+2sinx=23cosx+21cos2x=2.

Đặt t=cosx,t1.  Ta có 3cosx+2sinx=23t+21t2=2t=0.

Với t=0,  ta có cosx=0x=π2+kπk.


Câu 15:

Xét phương trình tan2x433tanx+1=0  trên đoạn 0;3π. Chọn câu trả lời đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình tan2x433tanx+1=0  có nghĩa xπ2+kπ.

Đặt t=tanx.  Ta có tan2x433tanx+1=0t2433t+1=0t=33t=3.

Với t=33,  ta có tanx=33tanx=tanπ6x=π6+kπk.

Với t=3,  ta có tanx=3tanx=tanπ3x=π3+kπk.

 x0;3π nên x=π6;x=7π6;x=13π6;x=π3;x=4π3;x=7π3.

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn đề bài.


Câu 16:

Xét phương trình sin2x5sinx+6=0  trên đoạn 0;2π.  Chọn câu trả lời đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình sin2x5sinx+6=0  có nghĩa xD=.

Đặt t=sinx,t1.

Ta có  sin2x5sinx+6=0t25t+6=0t=3t=2t= (do t1 ).

Vậy phương trình vô nghiệm.


Câu 17:

Cho x thỏa mãn phương trình sau   tanx+cotx2tanx+cotx=2

Giá trị của biểu thức tanx+1tanx  

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình tanx+cotx2tanx+cotx=2  có nghĩa cosx0xπ2+kπsinx0xkπxkπ2.

Đặt t=tanx+cotx.  Ta có tanx+cotx2tanx+cotx=2t2t2=0t=2t=1.

Với t=2,  ta có tanx+cotx=2tanxcotx=1tanx=1cotx=1.

Với t=1,  ta có tanx+cotx=1tanxcotx=1 (vô nghiệm).

Vậy tanx+1tanx=2.


Câu 18:

Cho x thỏa mãn phương trình sinx+sin2x2=0,5.  Giá trị của biểu thức y=tanx  

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình sinx+sin2x2=12  có nghĩa xD=.

Ta có sinx+sin2x2=12sinx+1cosx2=122sinx+1cosx=12sinxcosx=0.    *

 thì (*) vô nghiệm nên *2sinxcosx1=02tanx1=0tanx=12.


Câu 19:

Cho x=arctan13+kπ  là nghiệm của một trong phương trình sau, hỏi đó là phương trình nào?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình 3sin2xsin2xcos2x=0  có nghĩa xD=.

Ta có 3sin2xsin2xcos2x=03sin2x2sinxcosxcos2x=0.  1

cosx=0  không là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2x .

Ta có 3sin2x2sinxcosxcos2x=03tan2x2tanx1=0.

Đặt t=tanx.  Ta có 3tan2x2tanx1=03t22t1=0t=1t=13.

Với t=1,  ta có tanx=1tanx=tanπ4x=π4+kπk.

Với t=13,  ta có tanx=13x=arctan13+kπk.


Câu 20:

Cho phương trình sin3x+cos3x2cosxsinx=cos2x.  Nếu giải phương trình bằng cách đặt thì phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có   sin3x+cos3x2cosxsinx=cos2xsin3x+cos3x=cos2xsin2x2cosxsinx

sin3x+cos3x=2cos3x2cosxsin2xsinxcos2x+sin3x

cos3x2sin2xcosxsinxcos2x=0cos3xcos3x2sin2xcosxcos3xsinxcos2xcos3x=0

(Điều kiện cosx0xπ2+kπ ).

12tan2xtanx=02tan2x+tanx1=0.

Đặt tanx=t,  ta có 2tan2x+tanx1=02t2+t1=0.


Câu 21:

Cho phương trình 2sinx2cosx=13.  Nếu giải phương trình bằng cách bình phương hai vế thì ta được phương trình nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình 2sinx2cosx=13   có nghĩa xD=.

Ta có 2sinx2cosx=13sinxcosx2=1322

sin2x+cos2x2sinxcosx=132sin2x=32sin2x=sinπ3.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương