33 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập có đáp án

Câu 1:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - x - 6}, k h i x \neq 3 \\ \frac{27}{5}, k h i x = 3 \end{cases}$

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có $f (3) = \frac{27}{5}$ và $\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x + 2)}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 x + 9}{x + 2} = \frac{27}{5}$

Câu 2:

Cho hàm số $f (x) - \{\begin{cases} \frac{x - 3}{\sqrt{2 x + 3} - 3} k h i x < 3 \\ {(x - 1)}^{2} k h i x \geq 3 \end{cases}$ . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} {(x - 1)}^{2} = 4$

$\lim_{x \to 3^{-}} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x - 3}{\sqrt{2 x + 3} - 3} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{\sqrt{2 x + 3} + 3}{2} = 3$

Do đó $\lim_{x \to 3^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 3^{+}} f (x)$

Vậy hàm số gián đoạn tại x=3

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2}, k h i x \neq 2 \\ a, k h i x = 2 \end{cases}$ . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có $f (2) = a$ và $\lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{4}{\sqrt[3]{{(4 x)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{4 x} + 4} = \frac{1}{3}$

Vậy để hàm số liên tục tại điểm x=2 thì $\lim_{x \to 2} f (x) = f (2) \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}$

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} + 1} k h i x < - 1 \\ m^{2} x^{2} + 2 m x - 5 k h i x \geq - 1 \end{cases}$

Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x=-1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có: $\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{(x - 1) (x^{2} - 4)}{x^{2} - x + 1} = 2$

$\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (m^{2} x^{2} + 2 m x - 5) = m^{2} - 2 m - 5 = f (- 1)$

Hàm số liên tục tại x=-1 khi và chỉ khi

$\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = f (- 1)$ $\Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 5 = 2 \Rightarrow m = 1 \pm \sqrt{2}$

Câu 5:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x + 1}, k h i x \neq - 1 \\ 2, k h i x = - 1 \end{cases}$

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên D=R

Với $x \neq - 1$ thì $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = x - 1$ là hàm số liên tục trên tập xác định.

Do đó hàm số liên tục trên $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$

Với x= -1 ta có $\lim_{x \to - 1} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} (x - 1) = - 2$

Vì $f (- 1) = 2 \neq \lim_{x \to - 1} f (x)$

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ; hàm số không liên tục tại điểm x=-1

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{a^{2} (x - 2)}{\sqrt{x + 2} - 2} k h i x > 2 \\ (1 - a) x k h i x \leq 2 \end{cases}$

Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Với x>2 ta có $f (x) = \frac{a^{2} (x - 2)}{\sqrt{x + 2} - 2}$ là hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.

Do đó hàm số f(x) liên tục trên $(2; + \infty)$

Với x<2 ta có $f (x) = (1 - a) x$ là hàm số liên tục trên tập xác định. Do đó hàm số f(x) liên tục trên $(- \infty; 2)$

Với x=2 ta có $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (1 - a) x = 2 (1 - a) = f (2)$

$\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{a^{2} (x - 2)}{\sqrt{x + 2} - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} a^{2} (\sqrt{x + 2} + 2) = 4 a^{2}$

Hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=2 , nên

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) \Leftrightarrow 4 a^{2} = 2 (1 - a) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy $a = - 1; a = \frac{1}{2}$ là những giá trị cần tìm.

Câu 7:

Hàm số có đồ thị như hình bên gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số gián đoạn tại điểm x=1

Câu 8:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình bên. Chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số liên tục trên R

B. Hàm số liên tục trên

$(- \infty; 4)$

C. Hàm số liên tục trên

$(1; + \infty)$

D. Hàm số liên tục trên (1, 4)

Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên (1, 4)

Câu 9:

Hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5 x + 6}$ liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. $(- \infty; 3)$

B. $(2; 2019)$

C. $(- 3; 2)$

D. $(- 3; + \infty)$

Xem đáp án

Điều kiện xác định của hàm số $x^{2} + 5 x + 6 \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 2 \\ x \neq - 3 \end{cases}$

Do đó hàm số đã cho gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng -2 và -3

Câu 10:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 3 x + 2 k h i x < - 1 \\ x^{2} - 1 k h i x \geq - 1 \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. f(x) liên tục trên R

B.f(x) liên tục trên

$(- \infty; - 1]$

C. f(x) liên tục trên $[- 1; + \infty)$

D. f(x) liên tục trên x=-1

Xem đáp án

Hàm số xác định trên R

Ta có: $f (- 1) = 0; \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (x^{2} - 1) = 0, \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} (3 x + 2) = - 1$

Suy ra $f (- 1) = \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to - 1^{+}} f (x)$

Vậy hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng $[- 1; + \infty)$ và khoảng $(- \infty; - 1)$

Câu 11:

Giá trị của a để các hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x + 2 a k h i x < 0 \\ x^{2} + x + 1 k h i x \geq 0 \end{cases}$ liên tục tại x=0 bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Hàm số xác định trên R

Ta có: $f (0) = 1, \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} + x + 1) = 1$

Hàm số đã cho liên tục tại điểm x=0 khi và chỉ khi $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + 2 a) = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$

Câu 12:

Cho hàm số

$y = f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} - 2 k h i x \geq 1 \\ \frac{2 x - a}{x^{2} + 1} k h i x < 1 \end{cases}$ . Giá trị của a để hàm số liên tục tại

$x_{0} = 1$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hàm số xác định trên R

Ta có: $f (1) = 0, \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (2 x^{2} - 2) = 0$

Hàm số đã cho liên tục tại điểm $x_{0} = 1$ khi và chỉ khi $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (\frac{2 x - a}{x^{2} + 1}) = 0 \Leftrightarrow a = 2$

Câu 13:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} {(x + 1)}^{2}, x > 1 \\ x^{2} + 3, x < 1 \\ k^{2}, x = 1 \end{cases}$ . Tìm k để f(x) gián đoạn tại x=1

A. $k \neq \pm 2$

B. $k \neq 2$

C. $k \neq - 2$

D. $k \neq \pm 1$

Xem đáp án

Hàm số xác định trên R

Ta có: $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} {(x + 1)}^{2} = 4, \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + 3) = 4$

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x=1 khi và chỉ khi $f (1) \neq 4 \Leftrightarrow k^{2} \neq 4 \Leftrightarrow k \neq \pm 2$

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{4} - 4}$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) liên tục tại x=2

(II) gián đoạn tại x=2

(III) liên tục trên đoạn $[- 2; 2]$

A. Chỉ (I) và (III)

B. Chỉ (I)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (II) và (III)

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $x^{2} - 4 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq - 2 \\ x \geq 2 \end{array}$

Ta có: $f (2) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$ . Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=2

$f (- 2) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$ . Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=-2

Câu 15:

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

(I) $f (x) = x^{5} - 3 x^{2} + 1$ liên tục trên

(II) $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ liên tục trên

(III) $f (x) = \sqrt{x - 2}$ liên tục trên

A. Chỉ (I) và (III)

B. Chỉ (I)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (II) và (III)

Xem đáp án

(I) $f (x) = x^{5} - 3 x^{2} + 1$ là hàm số có tập xác định trên R. Do đó hàm số f(x) liên tục trên R

(II) $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ có tập xác định $D = (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .

Do đó f(x) gián đoạn trên khoảng $(- 1; 1)$

(III) Hàm số $f (x) = \sqrt{x - 2}$ có tập xác định $D = [2; + \infty)$

Ta có: $f (2) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x - 2} = 0$ . Do đó hàm số liên tục trên $[2; + \infty)$

Câu 16:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \cos \frac{π x}{2} k h i |x| \leq 1 \\ |x - 1| k h i |x| > 1 \end{cases}$ Khẳng định nào sau đây đúng nhât?

A. Hàm số liên tục tại x=1 và x=-1

B. Hàm số liên tục tại x=1 , không liên tục tại x=-1

C. Hàm số không liên tục tại x=1 và x=-1

D. Hàm số liên tục tại x=-1 , không liên tục tại x=1

Xem đáp án

$f (x) = \{\begin{cases} \cos \frac{π x}{2} k h i |x| \leq 1 \\ |x - 1| k h i |x| > 1 \end{cases} \Leftrightarrow f (x) = \{\begin{cases} 1 - x k h i x < - 1 \\ \cos \frac{π x}{2} k h i - 1 \leq x \leq 1 \\ x - 1 k h i x > 1 \end{cases}$ Khi đó ta có $f (- 1) = \cos (- \frac{π}{2}) = 0, \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) = 0$

Suy ra $f (1) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$

Do đó hàm số liên tục tại x=-1

+) $f (1) = \cos (\frac{π}{2}) = 0, \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) = 0$ . Suy ra $f (1) = \lim_{x \to 1^{+}}$ . Do đó hàm số liên tục tại x=1

Câu 17:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}} k h i x \neq \sqrt{3} \\ 2 \sqrt{3} k h i x = \sqrt{3} \end{cases}$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) f(x) liên tục tại $x = \sqrt{3}$

(II) f(x) gián đoạn tại $x = \sqrt{3}$

(III) f(x) liên tục trên R

A. Chỉ (I) và (II)

B. Chỉ (II) và (III)

C. Chỉ (I) và (III)

D. Chỉ (I), (II), (III) đều đúng

Xem đáp án

Tập xác định: D= R

Ta có: $f (\sqrt{3}) = 2 \sqrt{3}, \lim_{x \to \sqrt{3}} f (x) = \lim_{x \to \sqrt{3}} (\frac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}) = \lim_{x \to \sqrt{3}} (\frac{(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3})}{x - \sqrt{3}}) = \lim_{x \to \sqrt{3}} (x + \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3}$

Do đó hàm số liên tục tại $x = \sqrt{3}$ . Vậy hàm số liên tục trên R

Câu 18:

Hàm số nào sau đây không liên tục tại x=1

A. $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} k h i x \neq 1 \\ 3 x - 1 k h i x = 1 \end{cases}$

B. $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 2 k h i x \neq 1 \\ 2 - 3 x k h i x = 1 \end{cases}$

C. $f (x) = \{\begin{cases} \frac{2 x^{2} - x - 1}{x - 1} k h i x \neq 1 \\ 2 x - 1 k h i x = 1 \end{cases}$

D. $f (x) = \{\begin{cases} - \frac{1}{x} k h i x > 1 \\ 2 x - 3 k h i x \leq 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Xét $f (x) = \{\begin{cases} \frac{2 x^{2} - x + 1}{x - 1} k h i x \neq 1 \\ 2 x - 1 k h i x = 1 \end{cases}$ có tập xác định D=R

Ta có $f (1) = 1, \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{2 x^{2} - x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 1) (x + \frac{1}{2})}{x - 1} = \lim_{x \to 1} 2 (x + \frac{1}{2}) = 3$

Suy ra $f (1) \neq \lim_{x \to 1} f (x)$

Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x=1

Câu 19:

Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{a x + 1} - 1}{x}, k h i x \neq 0 \\ 4 x^{2} + 5 b, k h i x = 0 \end{cases}$

liên tục tại x=0

A. $a = 5 b$

B. $a = 10 b$

C. a=b

D. $a = 2 b$

Xem đáp án

Ta có $f (0) = 5 b$

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a x}{(\sqrt{a x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{a x + 1} + 1} = \frac{a}{2}$

Hàm số liên tục tại x=0 khi và chỉ khi $f (0) = \lim_{x \to 0} f (x) \Leftrightarrow 5 b = \frac{a}{2} \Leftrightarrow a = 10 b$

Câu 20:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2}, x \geq 1 \\ \frac{2 x^{3}}{1 + x}, 0 \leq x \leq 1 \\ x \sin x, x < 0 \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. f(x) liên tục trên R

B. f(x) liên tục trên $ℝ \ \{0\}$

C. f(x) liên tục trên $ℝ \ \{1\}$

D. f(x) liên tục trên $ℝ \ \{0; 1\}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} x^{2} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x^{3}}{1 + x} = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1)$ nên hàm số liên tục tại x=1

Ta cũng ó\có $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{3}}{1 + x} = \lim_{x \to 0^{-}} x \sin x = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (1)$ nên hàm số liên tục tại x=0

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{2 x - 4} + 3 k h i x \geq 2 \\ \frac{x + 1}{x^{2} - 2 m x + 3 m + 2} k h i x < 2 \end{cases}$

Tìm các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục trên R

A. m=3

B. m=4

C. m=5

D. m=6

Xem đáp án

Ta có: $f (2) = 3, \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (\sqrt{2 x - 4} + 3), \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x^{2} - 2 m x + 3 m + 2}$

Hàm số f(x) liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số f(x) liên tục tại x=2

$\Leftrightarrow \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x^{2} - 2 m x + 3 m + 2} = 3 \Leftrightarrow \frac{3}{6 - m} = 3 \Leftrightarrow m = 5$

Câu 22:

Giá trị a để các hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{2 x + 1} - 1}{x (x + 1)}, k h i x \neq 0 \\ a, k h i x = 0 \end{cases}$ liên tục tại điểm x=0 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 x + 1} - 1}{x (x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{(x + 1) (\sqrt{2 x + 1} + 1)} = 1$

Suy ra $a = f (0) = 1$ thì hàm số liên tục tại điểm x=0

Câu 23:

Giá trị của a để các hàm số $f (x) = \{\begin{cases} f (x) = \frac{\sqrt[3]{2 x + 6} - 2}{\sqrt{3 x + 1} - 2}, k h i x \neq 1 \\ a, k h i x = 1 \end{cases}$ liên tục tại điểm x=1 là

A. 1

B. 2

C. $\frac{2}{9}$

D. $\frac{1}{9}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{2 x + 6} - 2}{\sqrt{3 x + 1} - 2} = \lim_{x \to 1} \frac{2 (\sqrt{3 x + 1} + 2)}{3 (\sqrt[3]{{(2 x + 6)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{2 x + 6} + 4)} = \frac{2}{9}$

Vậy $f (1) = \frac{2}{9}$ thì hàm số liên tục tại x=1

Câu 24:

Giá trị của a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 1}{a x^{2} + (2 a + 1) x}, k h i x \neq 0 \\ 3, k h i x = 0 \end{cases}$ liên tục tại điểm x=0 là

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{- 1}{6}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 1}{a x^{2} + (2 a + 1) x} = \lim_{x \to 0} \frac{4}{(a x + 2 a + 1) (\sqrt{4 x + 1} + 1)} = \frac{2}{2 a + 1}$

Hàm số liên tục tại x=0 thì $\frac{2}{2 a + 1} = 3 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{6}$

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{3 x + 1} - 2}{x^{2} - 1}, k h i x > 1 \\ \frac{a (x^{2} - 2)}{x - 3}, k h i x \leq 1 \end{cases}$ liên tục tại điểm x=1 là

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 1

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{a (x^{2} - 2)}{x - 3} = \frac{a}{2}, \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{3 x + 1} - 2}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{3}{(x + 1) (\sqrt{3 x + 1} + 2)} = \frac{3}{8}$

Để hàm số liên tục tại x=1 thì $\frac{a}{2} = \frac{3}{8} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$

Câu 26:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}, k h i x > 0 \\ m x^{2} + 2 x + \frac{1}{4}, k h i x \leq 0 \end{cases}$ m là tham số

Tìm m để hàm số liên tục tại x=0

A. m= $\frac{1}{2}$

B. m=0

C. m=1

D. m= $\frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} = \frac{1}{4}; \lim_{x \to 0^{-}} (m x^{2} + 2 x + \frac{1}{4}) = 2 x + \frac{1}{4}$

Để hàm số liên tục tại x=0 thì $2 m + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0$

Câu 27:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2}, k h i x \neq 2 \\ a x + 3, k h i x = 2 \end{cases}$ Tìm a để hàm số liên tục trên R

A. a=-1

B. a= $\frac{1}{6}$

C. a= $\frac{4}{3}$

D. $a = \frac{- 4}{3}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{4}{\sqrt[3]{16 x^{2}} + 2 \sqrt[3]{4 x} + 4} = \frac{1}{3}; f (2) = 2 a + 3$

Để hàm số liên tục trên R thì $2 a + 3 = \frac{1}{3} \Leftrightarrow a = - \frac{4}{3}$

Câu 28:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x}, 0 < x < 9 \\ m, x = 0 \\ \frac{3}{x}, x \geq 9 \end{cases}$ . Giá trị của m để f(x) liên tục trên $[0; + \infty)$ là

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{6}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 9^{-}} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x} = \frac{1}{3}; \lim_{x \to 9^{+}} \frac{3}{x} = \frac{1}{3}$ và $f (9) = \frac{1}{3}$ nên hàm số liên tục tại x=9

Ta cũng có $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{3 + \sqrt{9 - x}} = \frac{1}{6}$ và $f (0) = m$

Vậy để hàm số liên tục trên $[0; + \infty)$ thì $m = \frac{1}{6}$

Câu 29:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \sin x, k h i |x| \leq \frac{π}{2} \\ a x + b, k h i |x| > \frac{π}{2} \end{cases}$ . Tìm giá trị của a, b để hàm số liên tục trên R

A. $\{\begin{cases} a = \frac{2}{π} \\ b = 1 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} a = \frac{2}{π} \\ b = 2 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} a = \frac{1}{π} \\ b = 0 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} a = \frac{2}{π} \\ b = 0 \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{-}} \sin x = 1; \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{+}} \sin x = - 1; \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{+}} a x + b = \frac{a π}{2} + b; \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{-}} a x + b = - \frac{a π}{2} + b$

Để hàm số liên tục trên R thì

$\{\begin{cases} \frac{a π}{2} + b = 1 \\ - \frac{a π}{2} + b = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2}{π} \\ b = 0 \end{cases}$

Câu 30:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}} k h i x \neq 3; x \neq 2 \\ b + \sqrt{3} k h i x = 3; b \in ℝ \end{cases}$ . Giá trị của b để f(x) liên tục tại x=3 là

A. $\sqrt{3}$

B. $- \sqrt{3}$

C. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 3} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Để hàm số liên tục tại x=3 thì $b + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow b = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Câu 31:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{3 x + 1}}{x - 1}, k h i x \neq 1 \\ a x, k h i x = 1 \end{cases}$ . Giá trị của a để hàm số liên tục tại $x_{0} = 1$ là

A. -3

B. 2

C. $\frac{- 2}{3}$

D. -2

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{3 x + 1}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{x - 1} + \lim_{x \to 1} \frac{2 - \sqrt{3 x + 1}}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt[3]{{(x + 7)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{x + 7} + 4} + \lim_{x \to 1} \frac{- 3}{2 + \sqrt{3 x + 1}}$

$= \frac{1}{12} - \frac{3}{4}$

$= - \frac{2}{3}$

$f (1) = a$

Để hàm số liên tục tại x=1 thì $a = - \frac{2}{3}$

Câu 32:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2017} + x - 2}{\sqrt{2019 x + 1} - \sqrt{x + 2019}} k h i x \neq 1 \\ k k h i x = 1 \end{cases}$ . Tim k để hàm số f(x) liên tục tại x=1

A. $k = 2 \sqrt{2020}$

B. $k = \frac{2019. \sqrt{2020}}{2}$

C. k=1

C. $k = \frac{20018}{2019} \sqrt{2020}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2017} + x - 2}{\sqrt{2019 x + 1} - \sqrt{x + 2019}} = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2017} - 1}{\sqrt{2019 x + 1} - \sqrt{x + 2019}} + \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{2019 x + 1} - \sqrt{x + 2019}}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(x^{2016} + x^{2015} + ... + x + 1) (\sqrt{2019 x + 1} + \sqrt{x + 2019})}{2018} + \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2019 x + 1} + \sqrt{x + 2019}}{2018}$

$= \frac{2017 \sqrt{2020}}{1009} + \frac{\sqrt{2020}}{1009} = 2 \sqrt{2020}$

Để hàm số liên tục tại x=1 thì $k = 2 \sqrt{2020}$

Câu 33:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \sin x, k h i \cos x \geq 0 \\ 1 + \cos x, k h i \cos x < 0 \end{cases}$ Hàm số f có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng

$(0; 2019)$ ?

A. 2018

B. 1009

C. 542

D. 321

Xem đáp án

Xét hàm số f(x) trên đoạn $[0; 2 π]$ , khi đó $f (x) = \{\begin{cases} \sin x, k h i x \in [0; \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{2}; 2 π] \\ 1 + \cos x, k h i x \in (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \end{cases}$

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0 = f (0); \lim_{x \to 2 π^{-}} f (x) = 0 = f (2 π)$

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $[0; \frac{π}{2}); (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ và $(\frac{3 π}{2}; 2 π]$

Ta xét tại $x = \frac{π}{2}$

$\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} (1 + \cos x) = 1; \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin x = 1; f (\frac{π}{2}) = 1$

Như vậy $\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x = f (\frac{π}{2})$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x = \frac{π}{2}$

Ta xét tại $x = \frac{3 π}{2}$

$\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} \sin x = - 1; \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} (1 + \cos x) = 1$

Vì $\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} f (x)$ nên hàm số f(x) gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$

Do đó, trên đoạn $[0; 2 π]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$ .

Do tính chất tuần hoàn của hàm số $y = \cos x$ và $y = \sin x$ suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x = \frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

Ta có $x \in (0; 2018) \Leftrightarrow 0 < \frac{3 π}{2} + k 2 π < 2018 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} < k < \frac{1009}{π} - \frac{3}{4} \approx 320, 42$

Vì $k \in ℤ$ nên $k \in \{0, 1, 2, ..., 320\}$ . Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng $(0; 2018)$

Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục có đáp án

Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương