Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực
326
16/11/2023
Bài 6 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;
b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
Trả lời
a)
GT
|
ABC đều,
G là trọng tâm,
H là trực tâm,
I là giao điểm của ba đường phân giác,
O là giao điểm của ba đường trung trực.
|
KL
|
Bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.
|
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Kéo dài AI cắt BC tại M, kéo dài BI cắt AC tại N, kéo dài CP cắt AB tại P.
Khi đó AM là đường phân giác của nên
Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA.
Xét ABM và ACM có:
AB = AC (chứng minh trên),
(chứng minh trên),
AM là cạnh chung
Do đó ABM = ACM (c.g.c).
Suy ra:
• (hai góc tương ứng);
• BM = CM (hai cạnh tương ứng).
Vì BM = CM nên M là trung điểm của BC.
Ta có , mà nên .
Khi đó AM BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC cũng đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của ABC.
Chứng minh tương tự ta cũng có:
+) BN là đường trung trực của đoạn thẳng AC, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ B của ABC.
+) CP là đường trung trực của đoạn thẳng AB, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C của ABC.
Mà AM, BN, CP cắt nhau tại I nên G, H, I, O trùng nhau.
b)
GT
|
ABC,
H là trực tâm,
I là giao điểm của ba đường phân giác,
I ≡ H
|
KL
|
ABC đều
|
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Vì I là giao điểm ba đường phân giác, H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên:
+ AI là đường phân giác và AH là đường cao kẻ từ A của ABC.
Mà I ≡ H (giả thiết) nên đường phân giác AI trùng với đường cao AH.
+ Tương tự đường phân giác BI trùng đường cao BH;
+ Đường phân giác CI trùng đường cao CH.
Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao (hay cũng chính là đường phân giác) kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.
Xét ABM (vuông tại M) và ACM (vuông tại M) có:
(do AM là tia phân giác của ),
AM là cạnh chung
Do đó ABM = ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng). (1)
Xét ABN (vuông tại N) và CBN (vuông tại N) có:
BN là cạnh chung,
(do BN là tia phân giác của ),
Do đó ABN = CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra AB = BC (hai cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA do đó tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC đều.