Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực

Bài 6 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;

b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Trả lời

a)

GT

ABC đều,

G là trọng tâm,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

O là giao điểm của ba đường trung trực.

KL

Bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Kéo dài AI cắt BC tại M, kéo dài BI cắt AC tại N, kéo dài CP cắt AB tại P.

Khi đó AM là đường phân giác của BAC^ nên BAM^=CAM^;

Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA.

Xét ABM và ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

BAM^=CAM^ (chứng minh trên),

AM là cạnh chung

Do đó ABM = ACM  (c.g.c).

Suy ra:

• AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng);

• BM = CM (hai cạnh tương ứng).

Vì BM = CM nên M là trung điểm của BC.

Ta có AMB^=AMC^, mà AMB^+AMC^=180° nên AMB^=AMC^=180°2=90°.

Khi đó AM  BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC cũng đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của ABC.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) BN là đường trung trực của đoạn thẳng AC, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ B của ABC.

+) CP là đường trung trực của đoạn thẳng AB, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C của ABC.

Mà AM, BN, CP cắt nhau tại I nên G, H, I, O trùng nhau.

b)

GT

ABC,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

I ≡ H

KL

ABC đều

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Vì I là giao điểm ba đường phân giác, H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên:

+ AI là đường phân giác và AH là đường cao kẻ từ A của ABC.

Mà I ≡ H (giả thiết) nên đường phân giác AI trùng với đường cao AH.

+ Tương tự đường phân giác BI trùng đường cao BH;

+ Đường phân giác CI trùng đường cao CH.

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao (hay cũng chính là đường phân giác) kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét ABM (vuông tại M) và ACM (vuông tại M) có:

BAM^=CAM^ (do AM là tia phân giác của BAC^),

AM là cạnh chung

Do đó ABM = ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng). (1)

Xét ABN (vuông tại N) và CBN (vuông tại N) có:

BN là cạnh chung,

ABN^=CBN^ (do BN là tia phân giác của ABC^),

Do đó ABN = CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = BC (hai cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA do đó tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 3: Dung tích phổi

 

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả