Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC

Luyện tập 2 trang 117 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Trả lời

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.

Vì tam giác ABC đều (giả thiết) nên AB = BC = CA.

Mà M là trung điểm của AB nên AM = BM.

Xét $∆$AMC và $∆$BMC có:

AC = BC (chứng minh trên),

MC là cạnh chung,

AM = BM (chứng minh trên).

Do đó $∆$AMC = $∆$BMC  (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMC}=\widehat{BMC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMC}+\widehat{BMC}=180°$ nên $\widehat{AMC}=\widehat{BMC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Do đó CM $\perp$ AB tại M.

Do đó CM là đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC.

Chứng minh tương tự ta cũng có BN là đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC.

Tam giác ABC có hai đường cao BN và CM cắt nhau tại G nên G là trực tâm của tam giác ABC.

Vậy G là trực tâm của tam giác ABC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 3: Dung tích phổi