Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Giới hạn của hàm số

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Hoạt động khởi động trang 71 Toán 11 Tập 1: Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số y=1x2 (x > 0). Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc tọa độ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

Hoạt động khởi động trang 71 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Hình chữ nhật OHMK có các kích thước lần lượt là hoành độ và tung độ của điểm M.

Ta có: điểm M luôn nằm trên đồ thị y=1x2x>0

Đặt Mx;1x2x>0

Khi đó diện tích hình chữ nhật OHMK là: x.1x2=1x.

Khi H gần tiến đến gốc tọa độ nghĩa là x dần tiến tới 0 thì diện tích hinh chữ nhật sẽ là một số rất lớn.

Khi H iến xa sang phía bên phải thì x dần tiến tới +∞ thì diện tích hình chữ nhật sẽ giảm dần về 0.

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Hoạt động khám phá 1 trang 71 Toán 11 Tập 1: Xét hàm số y=fx=2x22x1.

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

x

0

0,5

0,9

0,99

0,999

1

1,001

1,01

1,1

1,5

2

f(x)

2

3

3,8

3,98

3,998

||

4,002

4,02

4,2

5

6

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi x càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, M là điểm trên đồ thị hàm số y = f(x); H và P lần lượt là hình chiếu của M trên trục hoành và trục tung. Khi điểm H thay đổi gần về điểm (1; 0) trên trục hoành thì điểm P thay đổi như thế nào?

Lời giải:

a) Khi x càng gần đến 1 thì giá trị của f(x) gần đến giá trị 4.

b) Khi điểm H thay đổi gần về điểm (1; 0) trên trục hoàng thì điểm P gần về điểm (0; 4).

Thực hành 1 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx32x2x;

b) limx1x2+2x+1x+1.

Lời giải:

a) Hàm số f(x) = 2x2 – x xác định trên ℝ.

Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ℝ với mọi n và xn → 3 khi n → +∞. Ta có: limxn32xn2xn=limxn32xn2limxn3xn=2.323=15.

Vậy limx32x2x=15.

b) Hàm số fx=x2+2x+1x+1 xác định trên tập ℝ\{– 1}.

Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ℝ\{– 1} với mọi n và xn → – 1 khi n → +∞. Ta có: limxn1xn2+2xn+1xn+1=limxn1xn+12xn+1=limxn1xn+1=limxn1xn+1=1+1=0.

Vậy limx1x2+2x+1x+1=0.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

Hoạt động khám phá 2 trang 72 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số y = f(x) = 2x và y = g(x) = xx+1.

a) Giả sử (xn) là dãy số bất kì thỏa mãn xn ≠ – 1 với mọi n và xn → 1 khi n → +∞. Tìm giới hạn lim[f(xn) + g(xn)].

b) Từ đó, tìm giới hạn limx1[f(x)+gx], và so sánh với limx1f(x)+limx1gx.

Lời giải:

+) Hàm số y = f(x) = 2x xác định trên .

Dãy số (xn) bất kì thỏa mãn xn ≠ – 1 với mọi n và xn → 1 khi n → +∞, ta có:

limf(xn) = lim(2xn) = 2.limxn = 2.1 = 2.

Suy ralimx1fx = 2.

+) Hàm số y = g(x) = xx+1 xác định trên ℝ \ {2}.

Dãy số (xn) bất kì thỏa mãn xn ≠ – 1 với mọi n và xn → 1 khi n → +∞, ta có:

limg(xn) =limxnxn+1=12.

Suy ra limx1gx=12.

a) Ta có: lim[f(xn) + g(xn)] = limf(xn) + limg(xn) = 2+12=52.

b) Ta có lim[f(xn)+gxn]=52 nên limx1[f(x)+gx]=52.

Ta lại có: limx1fx+limx1gx=2+12=52.

Vì vậy limx1[f(x)+gx]=limx1fx+limx1gx.

Thực hành 2 trang 73 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx2x2+5x2;

b) limx1x21x1.

Lời giải:

a) limx2x2+5x2=limx2x2+limx25x+limx22=22+5.22=8.

b) limx1x21x1=limx1x1x+1x1=limx1x+1=2.

3. Giới hạn một phía

Hoạt động khám phá 3 trang 73 Toán 11 Tập 1: Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị được cho bởi bảng sau:

Khối lượng bưu kiện (100 gam)

Giá cước cận vùng (nghìn đồng)

đến 1

6

trên 1 đến 2,5

7

từ 2,5 đến 5

10

...

...

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giá cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

Hoạt động khám phá 3 trang 73 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

Hoạt động khám phá 3 trang 73 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Giả sử (xn) là dãy số bất kì sao cho xn ∈ (1; 2,5) và lim xn = 1. Tìm lim f(xn).

b) Giả sử xn' là dãy số bất kì sao cho xn'0;1  limxn'=1. Tìm limfxn'.

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b).

Lời giải:

a) Giả sử (xn) là dãy số bất kì sao cho xn ∈ (1; 2,5) và lim xn = 1 thì lim f(xn) = lim 7 = 7.

b) Giả sử xn' là dãy số bất kì sao cho xn'0;1  limxn'=1 thì limfxn'=6.

c) Nhận xét: Ở ý a) ta có:

Thực hành 3 trang 75 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số Thực hành 3 trang 75 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Tìm các giới hạn limx1+fx,limx1fx  limx1fx (nếu có).

Lời giải:

+) Với dãy số (xn) bất kì, xn ≤ – 1 và xn → – 1. Khi đó f(xn) = 1 – 2xn nên limf(xn) = lim(1 – 2xn) = 3.

Vì vậy limx1fx=3.

+) Với dãy số (xn) bất kì, xn > – 1 và xn → – 1. Khi đó f(xn) = xn2+2 nên limf(xn) = lim(xn2+2) = 3.

Vì vậy limx1+fx=3.

 limx1+fx=limx1fx=3 nên limx1fx=3.

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hoạt động khám phá 4 trang 75 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=1x có đồ thị như Hình 3.

Hoạt động khám phá 4 trang 75 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

x

10

100

1 000

10 000

100 000

y = f(x)

0,1

0,01

?

?

?

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới +∞)?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

x

– 100 000

– 10 000

– 1 000

– 100

– 10

y = f(x)

?

?

?

–0,01

–0,1

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới – ∞)?

Lời giải:

a) Với x = 1 000 suy ra y=11000=0,001;

Với x = 10 000 suy ra y=110000=0,0001;

Với x = 100 000 suy ra y=1100000=0,00001.

Từ đó ta có bảng sau:

x

10

100

1 000

10 000

100 000

y = f(x)

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

b) Với x = – 100 000 suy ra y=1100000=0,00001;

Với x = – 10 000 suy ra y=110000=0,0001;

Với x = – 1 000 suy ra y=11000=0,001.

Từ đó ta có bảng sau:

x

– 100 000

– 10 000

– 1 000

– 100

– 10

y = f(x)

–0,00001

–0,0001

–0,001

–0,01

–0,1

Thực hành 4 trang 76 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx+13x2x2+2x;

b) limx2x+1.

Lời giải:

a) limx+13x2x2+2x=limx+1x231+2x=3

b) limx2x+1=limx2x1+1x=0.

Vận dụng 1 trang 76 Toán 11 Tập 1: Một cái hồ đang chứa 200m3 nước mặn với nồng độ muối 10kg/m3. Người ta ngọt hóa nước hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 2m3/phút.

a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.

b) Tìm giới hạn limx+Ct và giải thích ý nghĩa.

Lời giải:

a) Trong 200m3 nước có nồng độ muối là 10kg/m3.

Do đó trong 200 m3 nước có 10.200 = 2000 kg muối.

Mỗi phút người ta bơm nước ngọt vào hồ 2m3 thì sau t phút có 200 + 2t (m3).

Khi đó nồng độ muối trong bể là:Ct=2000200+xkg/m3.

b) limt+Ct=limt+2000200+2t=limt+2000t200t+2=0.

Vậy khi bom nước ngọt vào hồ thì phải mất rất nhiều thời gian hồ mới được ngọt hóa.

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Hoạt động khám phá 5 trang 77 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=1x1 có đồ thị như Hình 4.

Hoạt động khám phá 5 trang 77 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

x

1,1

1,01

1,001

1,0001

y = f(x)

10

100

?

?

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

x

0,9

0,99

0,999

0,9999

y = f(x)

– 10

– 100

?

?

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên trái?

Lời giải:

a) Với x = 1,001 thì y = f(x) = 1x1=11,0011=1000;

Với x = 1,0001 thì y = f(x) = 1x1=11,00011=10000.

Khi đó ta có bảng:

x

1,1

1,01

1,001

1,0001

y = f(x)

10

100

1 000

10 000

Nhận xét: Khi x dần tới 1 phía bên phải thì f(x) tăng dần tới một giá trị rất lớn (dương vô cực).

b) Với x = 0,999 thì y = f(x) = 1x1=10,9991=1000;

Với x = 1,0001 thì y = f(x) = 1x1=10,99991=10000.

Khi đó ta có bảng:

x

0,9

0,99

0,999

0,9999

y = f(x)

– 10

– 100

– 1 000

– 10 000

Nhận xét: Khi x dần tới 1 phía bên phải thì f(x) giảm dần tới một giá trị rất nhỏ (âm vô cực).

Thực hành 5 trang 78 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx32xx3;

b) limx+3x1.

Lời giải:

a) Ta có: limx32x=6;limx31x3=

Do đó limx32xx3=limx3Thực hành 5 trang 78 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11 = -.

b) Ta có: 3x – 1 = x31x

Suy ra limx+3x1=limx+x31x=limx+x.limx+31x=+.

Vận dụng 2 trang 78 Toán 11 Tập 1: Xét tình huống ở hoạt động khởi động đầu bài học. Gọi x là hoành độ điểm H. Tính diện tích S(x) của hình chữ nhật OHMK theo x. Diện tích này thay đổi như thế nào khi x → 0+ và khi x → +∞.

Lời giải:

Hình chữ nhật OHMK có các kích thước lần lượt là hoành độ và tung độ của điểm M.

Ta có x là hoành độ điểm H nên hoành độ điểm M cũng bằng x và M luôn nằm trên đồ thị y=1x2x>0 nên tọa độ điểm M là x;1x2x>0.

Khi đó diện tích hình chữ nhật OHMK là:x.1x2=1x.

Khi H gần tiến đến gốc tọa độ nghĩa là x dần tiến đến 0+ thì limx0+1x=+.

Khi H tiến xa sang phía bên phải thì x dần tiến tới +∞ thì limx+1x=0.

Bài tập

Bài 1 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx2x27x+4;

b) limx3x3x29;

c) limx13x+8x1.

Lời giải:

a) limx2x27x+4=limx2x27.limx2x+limx24=47.2+4=22.

b) limx3x3x29=limx3x3x3x+3=limx31x+3=16

c)

limx13x+8x1=limx13x+83+x+8x13x+8=limx19x8x13+x+8

=limx113+x+8=16.

Bài 2 trang 79 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số Bài 2 trang 79 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11.

Tìm các giới hạn sau: limx1+fx;limx1fx;limx1fx (nếu có).

Lời giải:

+) Với dãy số (xn) bất kì, xn ≤ 1 và xn → 1. Khi đó f(xn) = xn2 nên limf(xn) = limxn2=1.

Vì vậy limx1fx=1.

+) Với dãy số (xn) bất kì, xn > 1 và xn → 1. Khi đó f(xn) = xn nên limf(xn) = lim(xn) = 1.

Vì vậy limx1+fx=1.

+) Vì limx1+fxlimx1fx nên không tồn tại limx1fx.

Bài 3 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx+4x+32x;

b) limx23x+1;

c)limx+x2+1x+1.

Lời giải:

a) limx+4x+32x=limx+4+3x2=2.

b) limx23x+1=limx2x3+1x=0.

c) limx+x2+1x+1=limx+x2+1x+1=limx+1+1x21+1x=1.

Bài 4 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limx1+1x+1;

b) limx1x2;

c) limx3+x3x.

Lời giải:

a) limx1+1x+1=limx1+1x1+1x=0;

b) Ta viết: 1x2=x2.1x21

Ta có: limxx2=+;limx1x21=1

Do đó: limx1x2=limxx21x21=.

c) Ta viết: x3x=x.13x

Ta có: limx3+x=3;limx3+13x=+

Do đó: limx3+x3x=limx3+x.13x=limx3+x.limx3+13x=+.

Bài 5 trang 79 Toán 11 Tập 1: Trong hồ có chứa 6 000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là Ct=30t400+t (gam/lít).

b) Nồng độ muối như thế nào nếu t → +∞.

Lời giải:

a) Sau t phút số lít nước biển bơm vào là: 15t (lít).

Khi đó số gam muối trong 15t lít nước biển là: 30.15t (gam).

Tổng số lít nước trong hồ là: 6000 + 15t (lít).

Nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: Ct=30.15t6000+15t=30t400+t (gam/lít).

b) Khi t → +∞ thì limt+Ct=limt+30t400+t=limt+30400t+1=30.

Vậy nồng độ muối trong hồ gần đến 30gam/lít khi t → +∞.

Bài 6 trang 79 Toán 11 Tập 1: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức 1d+1d'=1f hay d'=dfdf.

Xét hàm số gd=dfdf. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) limdf+gd;

b) limd+gd.

Bài 6 trang 79 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

a) Ta có: limdf+gd=limdf+dfdf=limdf+df.limdf+1df=+.

Như vậy khi khoảng cách của vật đến quang tâm O gần bằng tiêu cự của thấu kính thì khoảng cách từ ảnh đến quang tâm O của thấu kính càng lớn.

b) Ta có: limd+gd=limd+dfdf=limd+f1fd=f.

Như vậy khi khoảng cách của vật đến quang tâm O càng lớn thì khoảng cách từ ảnh đến quang tâm O của thấu kính càng gần tiêu cự.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Câu hỏi liên quan

a) Sau t phút số lít nước biển bơm vào là: 15t (lít).
Xem thêm
a) Trong 200m3 nước có nồng độ muối là 10kg/m3.
Xem thêm
a) Ta có:
Xem thêm
a) Ta có
Xem thêm
+) Với dãy số (xn) bất kì
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Giới hạn của hàm số CTST
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!