Giải Toán 11 Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Lời giải:
Đặt tên các hình như sau:
Các hình trên được phân thành hai nhóm sau:
- Nhóm Hình học phẳng gồm: Hình 1, Hình 3, Hình 6, Hình 8.
- Nhóm Hình học không gian gồm: Hình 2, Hình 4, Hình 5, Hình 7.
1. Mặt phẳng trong không gian
Lời giải:
Các ví dụ khác về mặt phẳng: Mặt tường, mặt nền nhà, mặt ghế, ...
Thực hành 1 trang 89 Toán 11 Tập 1:
a) Vẽ hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật.
b) Quan sát Hình 4a và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (P).
c) Quan sát Hình 4b và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng (Q).
Lời giải:
a) Hình biểu diễn của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là:
b)
Dựa vào hình vẽ, ta có:
Các điểm A’, B’, C’, D’ thuộc mặt phẳng (P).
Các điểm A, B, C, D không nằm trên mặt phẳng (P).
c)
Dựa vào hình vẽ, ta có:
Các điểm A, D, C thuộc mặt phẳng (Q).
Điểm B không thuộc mặt phẳng (Q).
2. Các tính chất được thừa nhận của hình học không gian
Lời giải:
Để gác một cây sào tập nhảy cao người ta cần dựa nó vào hai điểm trên cọc đỡ.
Lời giải:
Có tất cả 6 đường thẳng đi qua 2 trong 4 điểm đã cho: AB, AC, AD, BD, BC, CD.
Lời giải:
Giá đỡ của máy ảnh tiếp đất tại 3 điểm.
Qua ba điểm này ta xác định được duy nhất một mặt phẳng nên việc giá đỡ máy ảnh thường có ba chân để có điểm tựa là một mặt phẳng giữ cố định máy ảnh.
Thực hành 3 trang 90 Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác MNP?
Lời giải:
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác MNP.
Lời giải:
Người thợ mộc kiểm tra mặt bàn phẳng bằng cách sau:
- Đặt thước vào mặt bàn và đẩy di động;
- Kiểm tra xem thước có khít với mặt bàn không, nếu thước khít với mặt bàn thì mặt bàn phẳng, còn thước bị chênh so với mặt bàn thì mặt bàn không phẳng.
Lời giải:
Gọi H là một điểm bất kì nằm trên đường chéo AC của tứ giác ABCD.
Áp dụng tính chất 2, ta có (Q) là mặt phẳng duy nhất đi qua bốn điểm A, B, C, D.
Áp dụng tính chất 3, ta có mọi điểm thuộc đường thẳng AC đều thuộc mặt phẳng (Q). Mà H thuộc AC nên H thuộc (Q).
Chứng minh tương tự với mọi điểm bất kì thuộc đường chéo BD.
Vật các điểm nằm trên đường chéo của tứ giác ABCD đều thuộc mặt phẳng (Q).
Lời giải:
Bốn đỉnh A, B, C, D của cái bánh giò không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Lời giải:
Các mặt phẳng phân biệt được xác định từ bốn điểm M, N, P, O là: (OMN), (ONP), (OMP), (MNP).
Lời giải:
Phần giao nhau của hai bức tường là một đường thẳng.
Lời giải:
Gọi giao điểm của mặt phẳng (α) và (β) là đường thẳng d.
Ta có A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) nên A, B, C ∈ d do đó A, B, C thẳng hàng.
Lời giải:
Xét tam giác ABC, có:
M là trung điểm của AB;
N là trung điểm của AC
Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC
.
Lời giải:
Để cánh cửa đóng mở được êm thì các điểm bản lề A, B, C của mặt phẳng cánh cửa và mặt tưởng phải nằm trên một trục quay và trục quay này là giao điểm của mặt phẳng cánh cửa và mặt tường.
3. Cách xác định mặt phẳng
Lời giải:
Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta có một mặt phẳng duy nhất đi qua 3 điểm này là (ABC).
Qua hai điểm B và C ta vẽ được duy nhất một đường thẳng a đi qua hai điểm này .
Vì B và C thuộc (ABC) nên đường thẳng thẳng a cũng thuộc (ABC).
Lời giải:
Ta có:
Hai điểm O và M thuộc mặt phẳng (P) nên đường thẳng a thuộc (P).
Hai điểm O và N thuộc mặt phẳng (P) nên đường thẳng b thuộc (P).
Vậy mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng a và b.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b).
b) Lấy A, B lần lượt là hai điểm trên a, b và khác với điểm O. Tìm giao tuyến của (MAB) và mp(a, b).
c) Lấy điểm A’ trên đoạn MA và điểm B’ trên đoạn MB sao cho đường thẳng A’B’ cắt mp(a, b) tại C. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Lời giải:
a) Ta có hình vẽ sau:
Ta có:
M ∈ mp(M, a) và M ∈ mp(M, b) nên M ∈ (M, a) ∩ (M, b).
O là giao điểm của hai đường thẳng a và b, mà a ⊂ mp(M, a) và b ⊂ mp(M, b) nên O ∈ (M, a) ∩ (M, b).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b) là đường thẳng qua hai điểm M và O.
b)
Ta có: A ∈ (MAB) và A ∈ a ⊂ mp(a, b) nên A ∈ (MAB) ∩ mp(a, b).
Ta lại có: B ∈ (MAB) và B ∈ b ⊂ mp(a, b) nên B ∈ (MAB) ∩ mp(a, b).
Vậy giao tuyến của (MAB) và mp(a, b) là đường thẳng AB.
c)
Ta có (MA’B’) cũng là mặt phẳng (MAB)
Mà (MAB) giao mp(a, b) là đường thẳng AB nên điểm C cũng thuộc đường thẳng này do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Lời giải:
Qua bốn điểm không thẳng hàng ta có thể có được nhiều mặt phẳng đi qua bốn điểm này. Do đó chân ghế bốn chân hay bị khập khiễng.
Còn ghế ba chân có ba điểm tựa và qua ba điểm tựa này chỉ có thể có một mặt phẳng nên ghế ba chân không bị khập khiễng.
Lời giải:
Giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi tia laser OA và OB với hai mặt tường lần lượt là AC và BC.
4. Hình chóp và hình tứ diện
Hoạt động khám phá 10 trang 96 Toán 11 Tập 1:
a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình gì?
b) Tìm diểm giống nhau của các hình trong Hình 31.
Lời giải:
a) Các công trình kiến trúc và các đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình tam giác.
b) Điểm giống nhau là các hinh này đều có mặt bên là các hình tam giác, mặt đáy là các đa giác.
Hoạt động khám phá 11 trang 97 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 34, hình chóp nào có số mặt ít nhất?
Lời giải:
Hình chóp có số mặt ít nhất là Hình 34a).
a) Tìm giao điểm của đường thẳng HK và mặt phẳng (ABC).
b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAI) và (ABK); (SAI) và (BCH).
Lời giải:
a)
Xét mặt phẳng (SAC), có:
HK ∩ AC = {J}
Mà AC ⊂ (ABC)
Suy ra HK ∩ (ABC) = {J}.
b)
+) Ta có: 
Gọi D là giao điểm của SI và BK
Ta có: 
Do đó (SAI) ∩ (ABK) = AD.
+) Ta có: 
Ta lại có: 
Do đó (SAI) ∩ (BHC) = HI.
a) S, O’, O thẳng hàng;
b) S, E’, E thẳng hàng.
Lời giải:
a) +) Ta có 
Ta lại có: O là giao điểm của AC và BD nên
Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO.
+) Ta có 
Ta lại có: O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’ nên
Suy ra (SA'C') ∩ (SB'D') = SO'.
+) Mặt khác mặt phẳng (SA’C’) cũng chính là mặt phẳng (SAC), mặt phẳng (SB’D’) cũng chính là mặt phẳng (SBD) do đó SO’ trùng SO. Vì vậy S, O’, O thẳng hàng.
b) +) Ta có 
Ta lại có: E là giao điểm của AB và DC nên
Suy ra (SAB) ∩ (SDC) = SE.
+) Ta có 
Ta lại có: E’ là giao điểm của D’C’ và A’B’ nên
Suy ra (SB'C') ∩ (SD'C') = SE'.
+) Mặt khác mặt phẳng (SB’C’) cũng chính là mặt phẳng (SBC), mặt phẳng (SD’C’) cũng chính là mặt phẳng (SDC) do đó SE’ trùng SE. Vì vậy S, E’, E thẳng hàng.
Lời giải:
+) Chia tam giác SS’S” thành 4 tam giác bằng nhau như hình vẽ:
- Lấy A, C, B lần lượt là trung điểm của SS’, SS”, S’S”.
- Nối các đoạn thẳng AB, BC, AC ta được bốn tam giác đều bằng nhau ∆SAC, ∆S’AB, ∆ABC, ∆S”BC.
+) Gập các nếp gấp AC, BC, AB, rồi chụm các đỉnh S, S’, S” làm một ta được hình chóp SABC.
Bài tập
a) Chứng minh đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC).
b) Chứng minh O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Lời giải:
a) Ta có: M ∈ SA ⊂ (SAC);
N ∈ SC ⊂ (SAC);
⇒ MN ⊂ (SAC).
b) Ta có O là giao điểm của AC và BD
O ∈ AC ⊂ (SAC)
O ∈ BD ⊂ (SBD).
⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD).
a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA = 2IM.
b) Tìm giao điểm E của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM).
c) Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).
Lời giải:
a)
Gọi I là giao điểm của AM và SO.
Mà SO ⊂ (SBD)
Suy ra I ∈ (SBD).
Xét tam giác SAC, có:
AM, SO là các đường trung tuyến của tam giác
Mà I là giao điểm của AM và SO nên I là trọng tâm tam giác SAC
Suy ra hay AI = 2 IM.
b)
Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt SD tại E.
Ta có ME ⊂ (ABM).
Do đó SD ∩ (ABM) = {E}.
c)
Gọi MN giao với BE tại J
Mà BE ⊂ (SBD)
Suy ra I là giao điểm của MN và (SBD).
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng SO và mặt phẳng (MNP).
b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng SA và mặt phẳng (MNP).
c) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải:
a) Gọi E là giao điểm của SO và MN
Mà MN ⊂ (MNP)
Suy ra SO ∩ (MNP) = {E}.
b)
Gọi Q là giao điểm của PE và SA
Mà PE ⊂ (MNP)
Suy ra SA ∩ (MNP) = {Q}.
c)
Ta có: QM ∩ AB = {I};
Mà QM ⊂ (QMN), AB ⊂ (ABCD)
Suy ra I ∈ (QMN) ∩ (ABC) (1)
Ta lại có: QN ∩ AD = {K}
Mà QN ⊂ (QMN), AD ⊂ (ABCD)
Suy ra K ∈ (QMN) ∩ (ABCD ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (QMN) ∩ (ABCD ) = {IM}.
Mặt khác, ta có: QE ∩ AC = {J}
Mà QE ⊂ (QMN), AC ⊂ (ABCD)
Suy ra J ∈ (QMN) ∩ (ABCD )
Do đó J thuộc đường thẳng IM.
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (EFG) và (BCD), (EFG) và (ACD).
b) Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.
Lời giải:
a) +) Ta có: EF ∩ BC = {I}, EG ∩ BD = {G}
Mà EF, EG ⊂ (EGF) và BC, BD ⊂ (BCD)
Suy ra (EFG) ∩ (BCD) = {IG}.
+) Ta có: EF ∩ AC = {F}, EG ∩ AD = {H}
Mà EF, EG ⊂ (EGF) và AC, AD ⊂ (ACD)
Suy ra (EFG) ∩ (ACD) = {FH}.
b) Ta có: 
Mà CD ⊂ (BCD)
Gọi J là giao điểm của IG và CD.
Ta lại có: 
Mặt khác: (ACD) ∩ (EFG) = IG
Do đó J ∈ IG.
Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua điểm J.
Lời giải:
Thước laser phát tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng, mặt phẳng ánh sáng này giao với mặt tường sẽ tạo ra một vệt là đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Hai đường thẳng song song
