Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
Hoạt động khởi động trang 64 Toán 11 Tập 1:
Bạn nam thứ 1: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,666... và số là hai số bằng nhau.
Bạn nam thứ 2: Không thể như vậy được, vì 0,6 < ; 0,66 < ; 0,666 < ; ...
Bạn nữ: ???
Lời giải:
Nội dung đang được cập nhật...
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với .
a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:
n |
10 |
20 |
50 |
100 |
1 000 |
|un| |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
? |
? |
b) Với n như thế nào thì |un| bé hơn 0,01; 0,001?
c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.
Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?
Lời giải:
a) Ta có:
Với n = 100 có |u100| = = 0,01.
Với n = 1 000 có |u1000| = = 0,001.
Khi đó ta có bảng:
n |
10 |
20 |
50 |
100 |
1 000 |
|un| |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
b) Với n > 100 thì |un| < 0,01.
Với n > 1000 thì |un| < 0,001.
c) Khi n trở nên rất lớn thì khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 càng nhỏ.
Thực hành 1 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Ta có: k = 2 là số nguyên dương nên .
b) Ta có: thỏa mãn |q| = = < 1 nên .
Hoạt động khám phá 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với .
a) Cho dãy số (vn) với vn = un – 2. Tìm giới hạn lim vn.
b) Biểu diễn các điểm u1, u2, u3, u4 trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm un khi n trở nên rất lớn?
Lời giải:
a) Ta có:
Khi đó .
Vậy .
b) Ta có:;
Biểu diễn trên trục số, ta được:
Nhận xét: Khi n trở nên rất lớn lớn thì các giá trị un càng gần 2.
Thực hành 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) ;
b).
Lời giải:
a) Đặt
Suy ra
Vì <1 nên .
Vậy .
b) Đặt
Suy ra .
Vậy .
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
Hoạt động khám phá 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Ở trên ta đã biết .
a) Tìm các giới hạn lim 3 và .
b) Từ đó, nêu nhận xét về và lim 3 + .
Lời giải:
a) Ta có: lim 3 = 3, .
b) Đặt
Suy ra
Ta có: lim 3 + = 3 + 0 = 3.
Vậy = lim 3 + .
Thực hành 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) .
b) Ta có:
.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
a) Xác định diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).
b) Tính tổng diện tích Sn của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).
c) Tìm giới hạn limSn và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.
Lời giải:
a) Xác định diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).
Ta có: u1 = 1.; u2 = ; u3 = ; u4 = ; ...
Diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k là một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội .
Khi đó công thức số hạng tổng quát là:
b) Tổng diện tích Sn của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...) là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ta được:
.
c) Ta có: limSn = .
Khi đó limSn = 2u1.
Thực hành 4 trang 68 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Lời giải:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 1 và công bội là là:
.
Lời giải:
Nội dung đang được cập nhật...
4. Giới hạn vô cực
a) Với n như thế nào thì un vượt quá 10 000; 1 000 000?
b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì un vượt quá S?
Lời giải:
a) Diện tích của hình vuông un dựng ở bước thứ n là: un = n2 (đơn vị diện tích).
Để un vượt quá 10 000 thì n2 > 10 000 ⇔ n > 100.
Để un vượt quá 1 000 000 thì n2 > 1 000 000 ⇔ n > 1000.
b) Để un vượt quá S thì un > S ⇔ n2 > S ⇔ n > .
Bài tập
Bài 1 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Lời giải:
a)
b) ;
c) ;
d) .
Bài 2 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội bằng:.
b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội bằng: .
Bài 3 trang 69 Toán 11 Tập 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số.
Lời giải:
Ta có: 0,444... = 0,(4) = .
a) Kí hiệu an là diện tích của hình vuông thứ n và Sn là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính an, Sn (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limSn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).
b) Kí hiệu pn là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính pn và Qn (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limQn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Lời giải:
a) Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn (an) với số hạng đầu là u1 = 1 và công bội nên công thức tổng quát của an = .
Ta có:
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: .
b) Chu vi pn của hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 4 và công bội q = có số hạng tổng quát là: .
Ta có:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: .
a) Bắt đầu một hình vuông H0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H0 thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H1 (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H1 thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H2 (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình Hn(n = 1, 2, 3, ...).
Ta có: H1 có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng ;
H2 có 5.5 = 52 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng
Từ đó, nhận được Hn có 5n hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng .
a) Tính diện tích Sn của Hn và tính lim Sn.
b) Tính chu vi pn của Hn và tính limpn.
(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim Sn và chu vi limpn).
Lời giải:
a) Diện tích Sn của Hn là
Khi đó .
b) Chu vi pn của Hn là: .
Khi đó limpn = lim = 0.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: