Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Giới hạn của dãy số

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Hoạt động khởi động trang 64 Toán 11 Tập 1:

Bạn nam thứ 1: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,666... và số 23 là hai số bằng nhau.

Bạn nam thứ 2: Không thể như vậy được, vì 0,6 < 23; 0,66 < 23; 0,666 < 23; ...

Bạn nữ: ???

Lời giải:

Nội dung đang được cập nhật...

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un=1nn.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

n

10

20

50

100

1 000

|un|

0,1

0,05

0,02

?

?

b) Với n như thế nào thì |un| bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?

Lời giải:

a) Ta có:

Với n = 100 có |u100| = Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11 = 0,01.

Với n = 1 000 có |u1000| = Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11 = 0,001.

Khi đó ta có bảng:

n

10

20

50

100

1 000

|un|

0,1

0,05

0,02

0,01

0,001

b) Với n > 100 thì |un| < 0,01.

Với n > 1000 thì |un| < 0,001.

c) Khi n trở nên rất lớn thì khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 càng nhỏ.

Thực hành 1 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) lim1n2;

b) lim34n.

Lời giải:

a) Ta có: k = 2 là số nguyên dương nên lim1n2=0.

b) Ta có: q=34 thỏa mãn |q| = Thực hành 1 trang 65 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11 = 34 < 1 nên lim34n=0.

Hoạt động khám phá 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un=2n+1n.

a) Cho dãy số (vn) với vn = un – 2. Tìm giới hạn lim vn.

b) Biểu diễn các điểm u1, u2, u3, u4 trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm un khi n trở nên rất lớn?

Lời giải:

a) Ta có: vn=2n+1n2=1n

Khi đó lim1n=0.

Vậy limvn=0.

b) Ta có:u1=2.1+11=3;u2=2.2+12=52;u3=2.3+13=73;u4=2.4+14=94;

Biểu diễn trên trục số, ta được:

Hoạt động khám phá 2 trang 65 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11 Nhận xét: Khi n trở nên rất lớn lớn thì các giá trị un càng gần 2.

Thực hành 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) lim2+23n;

b)lim14nn.

Lời giải:

a) Đặt un=2+23nun2=23n

Suy ra limun2=lim23n

 Thực hành 2 trang 65 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11<1 nên limun2=lim23n=0.

Vậy lim2+23n=2.

b) Đặt un=14nn=1n4un+4=1n

Suy ra limun+4=lim1n=0.

Vậy lim14nn=4.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Hoạt động khám phá 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Ở trên ta đã biết lim3+1n2=lim3n2+1n2=1.

a) Tìm các giới hạn lim 3 và lim1n2.

b) Từ đó, nêu nhận xét về lim3+1n2 và lim 3 + lim1n2.

Lời giải:

a) Ta có: lim 3 = 3, lim1n2=0.

b) Đặt un=3+1n2un3=1n2

Suy ra limun3=lim1n2=0

limun=3

Ta có: lim 3 + lim1n2 = 3 + 0 = 3.

Vậy lim3+1n2 = lim 3 + lim1n2.

Thực hành 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) lim2n2+3nn2+1;

b) lim4n2+3n.

Lời giải:

a) lim2n2+3nn2+1=lim2+3n1+1n2=2.

b) Ta có: 4n2+3n=4+3n2

lim4n2+3n=lim4+3n2=lim4+3n2=lim4+lim3n2=2.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1: Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

b) Tính tổng diện tích Sn của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

c) Tìm giới hạn limSn và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Lời giải:

a) Xác định diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

Ta có: u1 = 1.12=12; u2 = 12.12=122; u3 = 12.12.12=123; u4 = 12.12.12.12=124; ...

Diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k là một cấp số nhân có số hạng đầu u1=12 và công bội q=12.

Khi đó công thức số hạng tổng quát là: uk=12k,k=1,2,3,...

b) Tổng diện tích Sn của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...) là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ta được:

Sn=u11qn1q=12.112n112=112n.

c) Ta có: limSn = lim112n=lim1lim12n=1.

Khi đó limSn = 2u1.

Thực hành 4 trang 68 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1+13+132+...+13n+...

Lời giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 1 và công bội là q=13<1 là:

Sn=1+13+132+...+13n+...=1113=32.

Vận dụng 1 trang 68 Toán 11 Tập 1: Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính R2 rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính R4 rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn.

Vận dụng 1 trang 68 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Nội dung đang được cập nhật...

4. Giới hạn vô cực

Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán 11 Tập 1: Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu un (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Với n như thế nào thì un vượt quá 10 000; 1 000 000?

b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì un vượt quá S?

Lời giải:

a) Diện tích của hình vuông un dựng ở bước thứ n là: un = n2 (đơn vị diện tích).

Để un vượt quá 10 000 thì n2 > 10 000 ⇔ n > 100.

Để un vượt quá 1 000 000 thì n2 > 1 000 000 ⇔ n > 1000.

b) Để un vượt quá S thì un > S ⇔ n2 > S ⇔ n > S.

Bài tập

Bài 1 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) lim2n+1n;

b) lim16n22n;

c) lim42n+1;

d) limn22n+32n2.

Lời giải:

a) lim2n+1n=lim2+1n=lim2+lim1n=2

b) lim16n22n=lim16n22n2=lim162n2=16=4;

c) lim42n+1=lim4n2+1n=02+0=0;

d) limn22n+32n2=lim12n+3n22=12.

Bài 2 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) 12+1418+...+12n+...;

b) 14+116+164+...+14n+... .

Lời giải:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1=12 và công bội q=12 bằng:S=12+1418+...+12n+...=u11q=12112=13.

b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1=14 và công bội q=14bằng: S=14+116+164+...+14n+...=14114=13.

Bài 3 trang 69 Toán 11 Tập 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số.

Lời giải:

Ta có: 0,444... = 0,(4) = 49.

Bài 4 trang 70 Toán 11 Tập 1: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu an là diện tích của hình vuông thứ n và Sn là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính an, Sn (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limSn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu pn là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính pn và Qn (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limQn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Lời giải:

a) Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn (an) với số hạng đầu là u1 = 1 và công bội 12 nên công thức tổng quát của an = 12n1.

Ta có: Sn=1+12+14+...+12n+...

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: S=limSn=lim1+12+14+...+12n+...=1112=2.

b) Chu vi pn của hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 4 và công bội q = 12 có số hạng tổng quát là: pn=412n1.

Ta có: Qn=4+4.12+4.14+...+4.12n+...

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: Q=limQn=lim4+4.12+4.14+...+4.12n+...=4112=8.

Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

a) Bắt đầu một hình vuông H­0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H0 thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H1 (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H1 thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H2 (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình Hn(n = 1, 2, 3, ...).

Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Ta có: H1 có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 13;

H2 có 5.5 = 52 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 13.13=132;...

Từ đó, nhận được Hn có 5n hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 13n.

a) Tính diện tích Sn của Hn và tính lim Sn.

b) Tính chu vi pn của Hn và tính limpn.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim Sn và chu vi limpn).

Lời giải:

a) Diện tích Sn của Hn  Sn=5n.13n.13n=5n.132n=59n

Khi đó limSn=lim59n=0.

b) Chu vi pn của Hn là: pn=5n.4.13n=4.53n.

Khi đó limpn = limBài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11 = 0.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Câu hỏi liên quan

a) Diện tích Sn của Hn
Xem thêm
a) Đặt
Xem thêm
Nội dung đang được cập nhật...
Xem thêm
a) Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn (an)
Xem thêm
a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu
Xem thêm
Ta có: 0,444...
Xem thêm
a) Xác định diện tích uk của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).
Xem thêm
a) Ta có:
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Giới hạn của dãy số CTST
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!