Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 6. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Mở đầu

Mở đầu trang 38 Toán 10 Tập 1: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?

Ngắm tháp rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác (ảnh 1)

Lời giải:

Sau bài này ta sẽ trả lời được:

Đặt cọc tiêu (vật cố định) tại vị trí đứng, kí hiệu là điểm A.

Sau đó, di chuyển một đoạn d (m) đến vị trí B. Gọi C là vị trí của tháp Rùa.

Tại A và B xác định góc A và góc B của tam giác ABC.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC.

Ngắm tháp rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác (ảnh 1)

1. Định lý Cosin

Giải Toán 10 trang 38 Tập 1

HĐ 1 trang 38 Toán 10 Tập 1: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng Đông Nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Lời giải:

a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O như hình dưới đây.

Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h (ảnh 1)

Trong 1 giờ, tàu di chuyển theo hướng đông từ O đến A với quãng đường là:

20 . 1 = 20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.

Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển theo hướng đông nam từ A đến B với quãng đường là:

20 . 0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.

b) Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm.

Do đó, khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:

Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h (ảnh 1)

Trong 2 giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đi đến A với quãng đường OA là 20 . 2 = 40 (km) tương ứng với 40 cm trên sơ đồ.

Sau đó tàu di chuyển từ A theo hướng nam tới vị trí điểm B. Ta có thể tính được quãng đường AB khi biết thời gian di chuyển.

Ta có: AB  OA nên tam giác OAB vuông tại A.

Khi đó áp dụng định lí Pythagore ta có thể tính được chính xác OB với OB = OA2+AB2 1600+AB2, do đó ta có thể xác định được chính xác khoảng cách từ điểm B nơi tàu đến tới cảng Vân Phong.

HĐ 2 trang 38 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.

a) Tính a2 theo BD2 và CD2.

b) Tính a2 theo b, c và DA.

c) Tính DA theo c và cos A.

d) Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.

Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c (ảnh 1)

Lời giải

a) Xét tam giác BDC vuông tại D, theo định lý Pythagore ta có:
BC2 = BD2 + DC2.

Hay a2 = BD2 + DC2 (1)

b) Xét ΔBDA vuông tại D, ta có:

BA2 = BD2 + DA2

Suy ra BD2 = BA2 – DA2 = c2 – DA2  (*)

Mà DC = DA + AC = DA + b nên DC2 = (DA + b)2 (**)

Thay (*) và (**) vào (1), ta được:

a2 = c2 – DA2 + (DA + b)2 = c2 – DA2 + DA2 + 2b . DA + b2

= c2 + b2 + 2b . DA.

Vậy a2 = c2 + b2 + 2b . DA (2)

c) Xét ΔBDA vuông tại D, ta có:

cosα=DAc  DA = c. cos α.

Mà cos α = cos (180o – A) = − cos A (do góc α và góc A bù nhau).

Do đó DA = − c. cos A.

d) Thay DA = − c. cos A vào biểu thức (2), ta được:

a2 = c2 + b2 + 2b . (− c. cos A)

= b2 + c2 − 2bc. cos A.

Vậy a2 = b2 + c2 − 2bc. cos A (đpcm).

Giải Toán 10 trang 39 Tập 1

Câu hỏi trang 39 Toán 10 Tập 1Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí côsin hay không?

Lời giải:

Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí côsin hay không (ảnh 1)

Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.

Theo định lí côsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc cosA.

Mà A^=90° nên cosA = 0.

Do đó, a2 = b2 + c2 – 2bc . 0 = b2 + c2.

Khi đó: a2 = b2 + c2 hay bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. (nội dung của định lí Pythagore).

Vậy định lý Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin.

Khám phá trang 39 Toán 10 Tập 1: Từ định lý côsin, hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Lời giải:

Từ định lý côsin, hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài (ảnh 1)

Theo định lí côsin, ta có:

a2 = b2 + c2 − 2bc . cos A (1)

b= a2 + c2 −2ac . cos B (2)

c2 = b2 + a2 −2ab . cos C (3)

Ta có (1)  2bc . cos A = b2 + c2 − a2  cosA=b2+c2a22bc.

Tương tự từ (2) và (3) suy ra cosB=a2+c2b22accosC=b2+a2c22ba.

Vậy cosA=b2+c2a22bccosB=a2+c2b22accosC=b2+a2c22ba.

Luyện tập 1 trang 39 Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC, có AB = 5, AC = 8 và A^=45o. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Theo định lí côsin, ta có:

a2 = b2 + c2 − 2bc . cos A

b= a2 + c2 −2ac . cos B (*)

(trong đó: AB = c, BC = a, AC = b)

Khi đó, BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A

= 52 + 82 – 2 . 5 . 8 . cos 45o

89402 

 BC ≈ 5,7 (cm).

Từ (*) suy ra cosB=a2+c2b22ac.

Mà a = BC = 5,7; b = AC = 8; c = AB = 5.

Suy ra cosB=5,72+52822.5,7.5=21719000,11

B^97o.

Ta có: A^+B^+C^=180o

Suy ra C^=180oA^B^

Do đó C^180o45o97o=38o.

Vậy BC ≈ 5,7 cmB^97oC^38o.

Trải nghiệm trang 39 Toán 10 Tập 1: Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của định lí côsin tại đỉnh A đối với tam giác đó.

Lời giải:

Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn (ảnh 1)

Tiến hành đo các cạnh của tam giác và góc A, ta được:

AB = cm, AC = cm, BC = 6,5 cm và A^=63o.

Khi đó, ta có:

AB2+AC2BC22.AB.AC=52+826,522.8.6,50,45.

cos A = cos 63o ≈ 0,45.

Do đó cos A=AB2+AC2BC22.AB.AC.

Vì vậy định lí côsin là đúng.

Vận dụng 1 trang 39 Toán 10 Tập 1Dùng định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ 1b.

Lời giải:

Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, đi theo thướng Đông với vận tốc 20km/h.

Sau khi đi 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc.

Giả sử sau 1,5 giờ tàu ở vị trí điểm B.

Dùng định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ 1b (ảnh 1)

Ta đã có: quãng đường OA = 20 (km) và quãng đường AB = 10 (km).

Mà OAB^=135° (do tàu đi theo hướng đông nam).

Áp dụng định lí côsin tại đỉnh A, ta được:

 OB2 = OA2 + AB2 – 2 . OA . AB . cosOAB^ 

 OB=202 + 102 – 2 . 20 . 10 . cos135o

 OB≈ 782,84

 OB ≈ 27,98.

Vậy khoảng cách từ tàu tới cảng Vân Phong xấp xỉ 27,98 km.

2. Định lý Sin

HĐ 3 trang 39 Toán 10 Tập 1: Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.

Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A (ảnh 1)

Lời giải:

Xét ΔBCM vuông tại C, ta có:

sinM=BCBM=a2RR=a2sinM

Hình 3.10a):

Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A (ảnh 1)

Ta có M^=A^ (hai góc nội tiếp cùng chắn BC)

sin A = sin M

R=a2sinA.

Hình 3.10b):

Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A (ảnh 1)

Ta có: A^+M^=180o (vì tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O; R)).

sin A = sin M

R=a2sinA.

Vậy ở cả hai hình ta đều có R=a2sinA.

Giải Toán 10 trang 40 Tập 1

Luyện tập 2 trang 40 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và B^=80o. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và góc B = 80 độ Tính số đo các góc (ảnh 1)

Áp dụng định lý sin cho ΔABC, ta có:

asinA=bsinB=csinC=2R

sinC=c.sinBb=5.sin80o80,6155

C^38o.

Lại có A^+B^+C^=180o

A^=180oB^C^

A^180°80°38°=62°.

Theo định lí sin, ta suy ra:

a=sinA.bsinB=sin62o.8sin80o7,17

Và 2R=bsinBR=b2sinB=82sin80o4,062.

Vậy a ≈ 7,17; R ≈ 4,062; A^62°;  C^38°.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Luyện tập 3 trang 40 Toán 10 Tập 1: Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45;A^=87o.

Lời giải:

Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45 (ảnh 1)

Áp dụng định lý cosin tại đỉnh A, ta có:

a= b+ c− 2bc . cosA

 BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cosA

 BC= 322 + 452 – 2 . 32 . 45 . cos 87o

 BC≈ 2898,27

 BC ≈ 53,84.

Theo định lí sin, ta có: asinA=bsinB

sinB=b.sinAa=32.sin87o53,80,594

B^36,44o hoặc B^143,56o (loại vì A^+B^230,56o>180o).

Ta có: A^+B^+C^=180o

C^=180oA^B^

C^180o87o36,44o=56,56o.

Vậy BC = 53,84; B^=36,44o;  C^=56,56o.

Vận dụng 2 trang 40 Toán 10 Tập 1: Từ một khu vực có thể quan sát hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Lời giải:

Bước 1: Tại khu vực quan sát, đặt một cọc tiêu cố định tại vị trí A. Kí hiệu hai đỉnh núi lần lượt là điểm B và điểm C.

Đứng tại A, ngắm điểm B và điểm C để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm đến từng đỉnh núi, tức là tính AB, AC.

* Tính AB bằng cách:

+ Đứng tại A, ngắm đỉnh núi B để xác định góc ngắm so với mặt đất, kí hiệu là góc α.

+ Theo hướng ngắm, đặt tiếp cọc tiêu tại D gần đỉnh núi hơn và đo đoạn AD. Xác định góc ngắm tại điểm D, kí hiệu là góc β.

Ta có hình vẽ:

Từ một khu vực có thể quan sát hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định (ảnh 1)

Ta có: ADB^=180oβDBA^=βα.

Áp dụng định lí sin vào ∆ABD, ta được: ABsinADB^=DAsinDBA^

AB=sinADB^.DAsinDBA^

AB=sin(180°β).DAsin(βα).

* Tương tự ngắm và đo để xác định AC.

Ta có: AEC^=180oδACE^=δγ.

Áp dụng định lí sin vào ∆ACE, ta được: ACsinAEC^=AEsinACE^

AC=sinAEC^  .  AEsinACE^

AC=sin(180oδ).AEsin(δγ).

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi, bằng cách áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC.

Ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosBAC.

Với AB, AC, góc BAC đã biết ở các bước trên, thay vào ta tính được BC chính là khoảng cách giữa hai đỉnh núi.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Giải Toán 10 trang 41 Tập 1

HĐ 4 trang 41 Toán 10 Tập 1Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

Giải Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích tam giác IAB, IAC, IBC.

Do đó SABC = SIBC + SICA + SIAB.

b) Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác (ảnh 1)

Ta có:

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác (ảnh 1)

Vậy diện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là: SABC=12r.(a+b+c).

HĐ 5 trang 41 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a) Biểu thị BD theo AB và sin A.

b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

Cho tam giác ABC với đường cao BD.  a) Biểu thị BD theo AB và sin A (ảnh 1)

Lời giải:

a) Xét ∆ABD vuông tại D, ta có:

TH1: Góc A là góc nhọn.

Cho tam giác ABC với đường cao BD.  a) Biểu thị BD theo AB và sin A (ảnh 1)

 Ta có: sinA=BDABBD=AB.sinA.

TH2: Góc A là góc tù.

Cho tam giác ABC với đường cao BD.  a) Biểu thị BD theo AB và sin A (ảnh 1)

sinA=sin(180oA)=BDAB

 BD = AB . sinA.

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD = AB . sinA.

b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC.

Cho tam giác ABC với đường cao BD.  a) Biểu thị BD theo AB và sin A (ảnh 1)

SABC=12AC.BD=12AC.AB.sinA=12.b.csinA.

TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC.

Cho tam giác ABC với đường cao BD.  a) Biểu thị BD theo AB và sin A (ảnh 1)

SABC=12AC.BD=12AC.AB.sinA=12.b.csinA.

Vậy diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A là SABC=12.b.csinA.

Luyện tập 4 trang 41 Toán 10 Tập 1: Tính diện tích tam giác ABC có b = 2, B^=300,C^=450.

Lời giải:

Tính diện tích tam giác ABC có b = 2, góc B = 30 độ, góc C = 45 độ (ảnh 1)

Áp dụng định lí sin cho ΔABC, ta có: bsinB=csinC

c=sinC.bsinB=sin45o.2sin30o=22.

Ta có: A^+B^+C^=180o

 A^=1800B^C^=180o30o45o=105o.

Diện tích tam giác ABC là:

SABC=12b.c.sinA=12.2.22.sin105o

=22.6+24=1+3 (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là 1+3 đvdt.

Thảo luận trang 41 Toán 10 Tập 1: Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC hay không?

Lời giải:

Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra:

cosA=b2+c2a22bc.

Mà cos2A + sin2A = 1

 sin2A = 1 – cos2A

 sinA=±1cos2A

Do 0o<A^<180o nên sin A > 0 hay sinA=1cos2A

Ta có: sinA=1b2+c2a22bc2=1(b2+c2a2)24b2c2

=4b2c2(b2+c2a2)24b2c2=4b2c2(b2+c2a2)22bc

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

SABC=12bc.sinA=12bc.4b2c2(b2+c2a2)22bc

=144b2c2(b2+c2a2)2

=142bcb2c2+a22bc+b2+c2a2

=14a2bc2b+c2a2

=14ab+ca+bcb+cab+c+a.

Vậy sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.

Giải Toán 10 trang 42 Tập 1

Vận dụng 3 trang 42 Toán 10 Tập 1: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như Hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình.

Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như Hình 3.17 (ảnh 1)

Lời giải

Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như Hình 3.17 (ảnh 1)

Xét tam giác CDB, ta có: CD = 441 m, CB = 575 m và DB = 538 m.

Nửa chu vi tam giác CDB là: 

(441 + 575 + 538) : 2 = 777 (m).

Do đó:

SCDB=777.(777441).(777575).(777538)  112 267,7 (m2).

Xét tam giác DBE, ta có: DE = 217 m, EB = 476 m và DB = 538 m.

Nửa chu vi tam giác DBE là:

(217 + 476 + 538) : 2 = 615,5 (m).

Do đó:

SDBE=615,5.(615,5217).(615,5476).(615,5538)  51 495,13 (m2)

Xét tam giác ABE, ta có: AE = 401 m, EB = 476 m và BA = 256 m.

Nửa chu vi tam giác ABE là: 

(401 + 476 + 256) : 2 = 566,5 (m)

Do đó:

SABE=566,5.(566,5401).(566,5476).(566,5256)  

 51 327,97 (m2)

Diện tích ngũ giác ABCDE là:

SABCDE = SCDB + SDBE + SABE

 112 267,7 + 51 495,13 + 51 327,97 = 215 090,8 (m2).

Vậy diện tích của công viên Hòa Bình khoảng 215 090,79 m2.

Bài tập

Bài 3.5 trang 42 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos A, S, r.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos A, S, r (ảnh 1)

Từ định lí cosin, ta suy ra:

cosA=b2+c2a22bc=52+82622.5.8=0,6625.

Nửa chu vi tam giác ABC là:

p=a+b+c2=6+5+82=9,5

Theo công thức Herong, ta có:

S=p(pa)(pb)(pc)

=9,5.(9,56).(9,55).(9,58) ≈ 14,98.

Ta có: S = pr

r=Sp14,989,51,577.

Vậy cos A = 0,6625, S ≈ 14,98 đvdt, r ≈ 1,577.

Bài 3.6 trang 42 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 10, A^=45o,B^=70o. Tính R, b, c.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có a = 10,góc A = 45 độ, góc B = 70 độ . Tính R, b, c (ảnh 1)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
asinA=bsinB=csinC=2R

R=a2sinA;  b=a.sinBsinA.

Mà a = 10, A^=45o;  B^=70o
R=102sin45o=52b=10.sin70osin45o13,29.

Ta có: A^+B^+C^=180o

C^=180oA^B^

C^=180o45o70o=65o.

Từ định lí sin ta suy ra:

c=a.sinCsinA=10.sin65osin45o12,82.

Vậy R=52b ≈ 13,29, c ≈ 12,82.

Bài 3.7 trang 42 Toán 10 Tập 1: Giải tam giác ABC và tính diện tích tam giác đó, biết A^=150,B^=1300,c=6.

Lời giải

Giải tam giác ABC và tính diện tích tam giác đó, biết góc A = 15 độ, góc B = 130 độ, c= 6 (ảnh 1)

Xét ΔABC, ta có: A^+B^+C^=180o

C^=180oA^B^

 C^=180o130o15o=35o.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

asinA=bsinB=csinC

b=c.sinBsinC;  a=c.sinAsinC.

Mà A^=15o;  B^=130o;  C^=35o;  c=6

b=6.sin130osin35o8;  a=6.sin15osin35o2,7.

Diện tích tam giác ABC là:

S=12bc.sinA=128.6.sin15o6,212.

Vậy a ≈ 2,7; b ≈ 8C^=35o; S ≈ 6,212.

Bài 3.8 trang 42 Toán 10 Tập 1: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70oE với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam theo vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70^oE với vận tốc 70 km/h (ảnh 1)

Lời giải:

Ta có sơ đồ đường đi như sau:

Giải Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là vị trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.

Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).

Ban đầu tàu di chuyển theo hướng S70oE nên BAS^ = 70o.

Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam nên BC // AS.

ABC^=180oBAS^=110o.

Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:

70 . 1,5 = 105 (km) hay c = 105.

Quãng đường tàu trôi tự do là:

8 . 2 = 16 (km) hay a = 16.

a) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

b2 = a2 + c2 − 2ac . cosB

 b2 = 162 + 1052 – 2 . 16 . 105 . cos 110o ≈ 12 430,18

 b ≈ 111,49.

Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 111,49 km.

b) Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là oE với α = CAS^.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta có:

asinA=bsinB=csinC

sinA=a.sinBb.

Mà B^=110ob ≈ 111,49; a = 16.

sinA=16.sin110°111,490,135

A^8° (do A^<90o).

Þ α ≈ 70° – 8° = 62°.

Vậy hướng từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu là là S62°E.

Giải Toán 10 trang 43 Tập 1

Bài 3.9 trang 43 Toán 10 Tập 1: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 50o và 40o so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m (ảnh 1)

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m (ảnh 1)

a) Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m (ảnh 1)

Vậy các góc của tam giác ABC là BAC^=10o;  ABC^=40o;  ACB^=130o.

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta được:

BCsinBAC^=ACsinABC^=ABsinACB^

AB=BC.sinCsinBAC^

Mà BC = 5 m, BAC^=10o;  ACB^=130o.

AB=5.sin130osin10o22,06 (m).

Xét ΔABH có:

BH=AB.sinBAH^22,06.sin50°16,9(m).

Do đó chiều cao của tòa nhà là:

CK = BH – BC + HK  16,9 – 5 + 7 = 18,9 (m).

Vậy chiều cao của tòa nhà xấp xỉ bằng 18,9 m.

Bài 3.10 trang 43 Toán 10 Tập 1: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình ta có thể ngắm được Đảo Yến (ảnh 1)

Lời giải:

- Giả sử từ một điểm A trên bãi biển Vũng Chùa ta nhìn thấy Đảo Yến với đỉnh bên trái là B và đỉnh bên phải là C nên chiều rộng của hòn đảo là đoạn BC.

Giải Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

- Lấy các điểm D và E bất kì trên bãi biển Vũng Chùa sao cho E, A, D thẳng hàng và ta đo được các khoảng cách AD và AE.

Ngắm và đo các góc BAC^BAE^,   BEA^,   CAD^,   CDA^.

Áp dụng định lí sin trong các tam giác ABE và ACD, ta tính được các khoảng cách AB và AC.

Sau đó, áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC với góc BAC^, các cạnh AB, AC đã biết, tính được khoảng cách BC (bề rộng của Đảo Yến mà ta nhìn thấy).

Bài 3.11 trang 43 Toán 10 Tập 1: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ.

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19 (ảnh 1)

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19 (ảnh 1)

Bước 1: Áp dụng định lí côsin trong ΔABC, ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2AB. BC . cosB

= 82 + 62 – 2 . 8 . 6 . cos105o ≈ 124,85

AC ≈ 11,2 km.

Bước 2: Áp dụng định lí sin trong ΔABC, ta có:

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19 (ảnh 1)

Bước 3:

Áp dụng định lí côsin trong ΔACD, ta có:

 AD2 = AC2 + DC2 – 2AC . DC . cosACD^

 = 11,22 + 122 – 2 . 12 . 11,2 . cos91,4o

AD ≈ 16,6 (km).

Bước 4: Độ dài đường mới giảm so với đường cũ là: 

12 + 6 + 8 − 16,6 = 9,4 (km).

Vậy độ dài đường mới sẽ giảm 9,4 kilômét so với đường cũ.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Câu hỏi liên quan

a) Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 111,49 km. b) Hướng từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu là là S62°E.
Xem thêm
a ≈ 2,7; b ≈ 8; góc C = 35 ; S ≈ 6,212.
Xem thêm
Độ dài đường mới sẽ giảm 9,4 kilômét so với đường cũ.
Xem thêm
a) SABC = SIBC + SICA + SIAB. b) Diện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là: S = 1/2r.(a+b+c)
Xem thêm
AB = 5 cm, AC = 8 cm, BC = 6,5 cm và  góc A = 63 Định lí côsin là đúng.
Xem thêm
cos A = 0,6625, S ≈ 14,98 đvdt, r ≈ 1,577.
Xem thêm
BC ≈ 5,7 cm; góc B ≈ 97; góc C ≈ 38
Xem thêm
a) a2 = BD2 + DC2 b) a2 = c2 + b2 + 2b . DA c) DA = − c. cos A.
Xem thêm
Diện tích của công viên Hòa Bình khoảng 215 090,79 m2.
Xem thêm
sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Hệ thức lượng trong tam giác
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!