Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài

Thảo luận trang 41 Toán 10 Tập 1: Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC hay không?

Trả lời

Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Mà cos²A + sin²A = 1

$\iff$ sin²A = 1 – cos²A

$\Rightarrow$ $\sin A=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Do $0^o<\widehat{A}<{180}^o$ nên sin A > 0 hay $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Ta có: $\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{{(b^2+c^2-a^2)}^2}{4b^2{c}^2}}$

$=\sqrt{\frac{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}{4b^2{c}^2}}=\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2bc}$

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}bc.\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2bc}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}$.

Vậy sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ