Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác
Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC.
Giải tam giác được hiểu như thế nào?
Lời giải:
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = c2 + b2 – 2.b.c.cosα
.
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A
cos A =
Vậy cos A = .
Lời giải:
Trong tam giác ABC có: .
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
Do đó AC = và AB = .
Hoạt động 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.
a) Tính BH theo c và sin A.
b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.
Lời giải:
a) Xét các trường hợp:
+ Với
Xét tam giác vuông AHB, ta có
Do đó BH = AB . sin A = c . sin A.
+ Với
Khi đó sin A = sin 90o = 1; BH = BA = c . 1 = c . sin A.
+ Với
Xét tam giác AHB vuông, ta có: .
Do đó BH = AB . sin(180° – ) = AB . sin A = c . sin A.
Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c . sin A.
b) Diện tích tam giác ABC bằng AC.BH nên .
Lời giải:
Xét tam giác ABC ta có .
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
BC = 6 +
Khi đó diện tích tam giác ABC bằng:
AB . BC . sin B = . 12 . (6 + ) . sin 60o ≈ 85,2.
a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:
, ở đó .
b) Bằng cách sử dụng công thức , hãy chứng tỏ rằng:
.
Lời giải:
a) Xét tam giác ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A (định lí cosin)
cos A =
cos A =
Do là góc của tam giác ABC nên .
Do đó sin A > 0.
Lại có cos2 A + sin2 A = 1 nên sin2 A = 1 - cos2 A.
mà
Do sin A > 0 nên .
Do đó .
b) Ta có diện tích tam giác ABC: S = bc.sin A.
Mà nên S = bc. .
Do đó .
Lời giải:
Gọi BC là chiều cao của tòa nhà, AB là chiều cao của chân giác kế, CD là khoảng cách giữa tòa nhà và cái cây, là góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang, là góc lệch giữa ngọn cây và phương nằm ngang. Khi đó chiều cao của cây là độ dài DE.
Tam giác AFD vuông tại F nên
DF = AF . tan = 30 . tan 34o ≈ 20,2 m.
Tam giác AFE vuông tại F nên
EF = AF. tan = 30 . tan 24o ≈ 13,4 m.
Khi đó DE = DF - EF = 20,2 - 13,4 = 6,8 m.
Vậy chiều cao cây khoảng 6,8 m.
Bài tập
Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, . Tính:
a) Độ dài cạnh AB;
b) Số đo các góc A, B;
c) Diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC có:
AB2 = BC2 + CA2 - 2.BC.CA.cos C
AB2 = 122 + 152 - 2.12.15.cos 120o
AB2 = 549
AB = m.
b) Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
≈ 34o.
Trong tam giác ABC có
.
c) Diện tích tam giác ABC là:
S = BC.AC.sin C = .12.15.sin 120o = (đvdt).
Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, . Tính độ dài cạnh AC.
Lời giải:
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
≈ 38,2o.
Trong tam giác ABC có
.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
m.
Vậy độ dài cạnh AC là 2,9m.
Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 100, , . Tính:
a) Độ dài các cạnh AC, BC;
b) Diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Trong tam giác ABC có
.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
Do đó
;
.
Vậy AC ≈ 139,3, BC ≈ 81,1.
b) Diện tích tam giác ABC là:
S = . AB.AC.sin A = . 100 . 139,3 . sin 35o ≈ 3995 (đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC là 3995 (đvdt).
Bài 4 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:
a) Số đo các góc A, B, C;
b) Diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
cos A =
≈ 95o.
cos B =
≈ 48o.
Trong tam giác ABC có:
b) Diện tích tam giác ABC là:
S = AB . AC . sin A = . 12 . 15 . sin 95o ≈ 90 (đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC là 90 (đvdt).
Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
+) Xét Hình 29:
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
.
Trong tam giác ABC có .
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
m.
Vậy AB ≈ 5,3 m.
+) Xét Hình 30:
Gọi H là chân đường cao kẻ từ C đến AB.
Tam giác ACH vuông tại H nên .
Do đó AH = AC. cos = 5,2 . cos 40o ≈ 4 m.
CH = AC . sin = 5,2 . sin 40o ≈ 3,3 m.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCH vuông tại H:
BH2 + CH2 = BC2 BH2 = BC2 - CH2
BH2 = 3,62 - 3,32 BH2 = 2,07
BH ≈ 1,44 m.
Khi đó AB ≈ 4 - 1,44 ≈ 2,56 m.
Vậy AB ≈ 2,56m.
Lời giải:
Đổi 1 km = 1 000 m.
Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác.
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
AB2 = AC2 + BC2 - 2.AC.BC.cos C
AB2 = 1 0002 + 8002 - 2.1000.800.cos 105o
AB2 ≈ 2 054 110,5 m.
AB ≈ 1433,2 m.
Vậy AB ≈ 1433,2 m.
Lời giải:
Gọi C là vị trí ngọn hải đăng, khi đó CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.
Ta có là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC nên .
Do đó .
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:
m.
Trong tam giác CBH vuông tại H:
CH = BC . sin
= . sin 75o = 15 + m ≈ 41 m.
Vậy khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ khoảng 41 m.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác: