Giải SGK Toán 10 (Cánh Diều) Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 2. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Câu hỏi khởi động trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau:

Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC.

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Giải tam giác được hiểu như thế nào?

Lời giải:

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.

Hoạt động 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, A^=α. Viết công thức tính BC theo b, c, α.

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = c2 + b2 – 2.b.c.cosα

BC=c2+b22bccosα.

Hoạt động 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Viết công thức tính cos A theo a, b, c.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A

 cos A = AB2+AC2BC22.AB.AC

Vậy cos A = AB2+AC2BC22.AB.AC.

Hoạt động 3 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, B^=αC^=β. Viết công thức tính AB và AC theo a, α, β

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Trong tam giác ABC có: A^=180°B^C^=180°αβ.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

BCsinA=ACsinB=ABsinC

asin180°αβ=ACsinα=ABsinβ

Do đó AC = a.sinαsin180°αβ và AB = a.sinβsin180°αβ.

Hoạt động 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.

a) Tính BH theo c và sin A.

b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.

Lời giải:

a) Xét các trường hợp: 

+ Với A^<90°

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Xét tam giác vuông AHB, ta có sinA=BHBA

Do đó BH = AB . sin A = c . sin A.

+ Với A^=90°

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Khi đó sin A = sin 90o = 1; BH = BA = c . 1 = c . sin A.

+ Với A^>90°

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Xét tam giác AHB vuông, ta có: BAH^=180°A^.

Do đó BH = AB . sin(180° – A^) = AB . sin A = c . sin A.

Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c . sin A.

b) Diện tích tam giác ABC bằng 12AC.BH nên S=12AC.BH=12bcsinA.

Luyện tập 1 trang 74 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12; B^=60°;C^=45°. Tính diện tích của tam giác ABC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Xét tam giác ABC ta có A^=180°B^C^=180°60°45°=75°.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

BCsinA=ABsinC

BCsin75°=12sin45°

BC=12sin45°.sin75°

 BC = 6 + 63 

Khi đó diện tích tam giác ABC bằng:

12AB . BC . sin B = 12. 12 . (6 + 63) . sin 60o ≈ 85,2.

Hoạt động 5 trang 75 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:

sinA=2bcppapbpc, ở đó p=a+b+c2.

b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsinA, hãy chứng tỏ rằng:

S=ppapbpc.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A (định lí cosin)

 cos A = AB2+AC2BC22.AB.AC

 cos A = c2+b2a22.c.b

cos2A=b2+c2a224b2c2

Do A^ là góc của tam giác ABC nên 0°<A^<180°.

Do đó sin A > 0.

Lại có cos2 A + sinA = 1 nên sin2 A = 1 - cos2 A.

sin2A=1b2+c2a224b2c2

sin2A=4b2c2b2+c2a224b2c2

sin2A=2bc+b2+c2a22bcb2c2+a24b2c2

sin2A=b+c2a2a2bc24b2c2

sin2A=b+c+ab+caa+bcab+c4b2c2

mà p=a+b+c2

 sin2A=2p.2pa.2pc.2pb4b2c2

sin2A=4ppapbpcb2c2

Do sin A > 0 nên sinA=4ppapbpcb2c2.

Do đó sinA=2bcppapbpc.

b) Ta có diện tích tam giác ABC: S = 12bc.sin A.

Mà sinA=2bcppapbpc nên S = 12bc. 2bcppapbpc.

Do đó S=ppapbpc.

Luyện tập 2 trang 76 Toán lớp 10 Tập 1Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là 34°, góc lệch giữa phương quan  sát ngọn cây và phương nằm ngang là 24°. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Gọi BC là chiều cao của tòa nhà, AB là chiều cao của chân giác kế, CD là khoảng cách giữa tòa nhà và cái cây, DAF^ là góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang, EAF^ là góc lệch giữa ngọn cây và phương nằm ngang. Khi đó chiều cao của cây là độ dài DE.

Tam giác AFD vuông tại F nên tanDAF^=DFAF

 DF = AF . tan DAF^ = 30 . tan 34o ≈ 20,2 m.

Tam giác AFE vuông tại F nên tanEAF^=EFAF

 EF = AF. tan EAF^ = 30 . tan 24o ≈ 13,4 m.

Khi đó DE = DF - EF = 20,2 - 13,4 = 6,8 m.

Vậy chiều cao cây khoảng 6,8 m.

Bài tập

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, C^=120°. Tính:

a) Độ dài cạnh AB;

b) Số đo các góc A, B;

c) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1) 

a) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC có:

AB2 = BC2 + CA2 - 2.BC.CA.cos C

 AB2 = 122 + 152 - 2.12.15.cos 120o

 AB2 = 549

 AB = 361 m.

b) Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

ABsinC=ACsinB

sinB=AC.sinCAB=15.sin120°3610,554

B^ ≈ 34o.

Trong tam giác ABC có

A^=180°B^C^=180°34°120°=26°.

c) Diện tích tam giác ABC là:

S = 12BC.AC.sin C = 12.12.15.sin 120o = 453 (đvdt).

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, A^=120°. Tính độ dài cạnh AC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

BCsinA=ABsinC

sinC=AB.sinABC=5.sin120°7=5314

C^ ≈ 38,2o.

Trong tam giác ABC có

B^=180°A^C^=180°120°38,2°=21,8°.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

BCsinA=ACsinB

AC=BC.sinBsinA=7.sin21,2°sin120°2,9 m.

Vậy độ dài cạnh AC là 2,9m.

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC có AB = 100, B^=100°C^=45°. Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC;

b) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

a) Trong tam giác ABC có

A^=180°B^C^=180°100°45°=35°.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

ACsinB=ABsinC=BCsinA

Do đó

AC=AB.sinBsinC=100.sin100°sin45°139,3;

BC=AB.sinAsinC=100.sin35°sin45°81,1.

Vậy AC 139,3, BC 81,1.

b) Diện tích tam giác ABC là:

S = 12. AB.AC.sin A = 12. 100 . 139,3 . sin 35o ≈ 3995 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 3995 (đvdt).

Bài 4 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:

a) Số đo các góc A, B, C;

b) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

cos A = AB2+AC2BC22.AB.AC=122+1522022.12.15=31360

A^ ≈ 95o.

cos B = BC2+BA2AC22.BC.CA=202+1221522.20.12=319480

B^ ≈ 48o.

Trong tam giác ABC có:

C^=180°A^B^=180°95°48°=37°

b) Diện tích tam giác ABC là:

S = 12AB . AC . sin A = 12. 12 . 15 . sin 95o ≈ 90 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 90 (đvdt). 

Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

+) Xét Hình 29:

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

BCsinA=ACsinB

sinB=AC.sinABC=5,2.sin40°3,60,93

B^68°.

Trong tam giác ABC có C^=180°A^B^=180°40°68°=72°.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

BCsinA=ABsinC

AB=BC.sinCsinA=3,6.sin72°sin40°5,3 m.

Vậy AB 5,3 m.

+) Xét Hình 30:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Gọi H là chân đường cao kẻ từ C đến AB.

Tam giác ACH vuông tại H nên cos CAH^=AHAC.

Do đó AH = AC. cos CAH^ = 5,2 . cos 40o ≈ 4 m.

sin CAH^=CHAC CH = AC . sin CAH^ = 5,2 . sin 40o ≈ 3,3 m.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCH vuông tại H:

BH2 + CH2 = BC2  BH2 = BC2 - CH2

 BH2 = 3,62 - 3,32  BH2 = 2,07

 BH ≈ 1,44 m.

Khi đó AB ≈ 4 - 1,44 ≈ 2,56 m.

Vậy AB ≈ 2,56m.

Bài 6 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và ACB^=105° (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Đổi 1 km = 1 000 m.

Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

AB2 = AC2 + BC2 - 2.AC.BC.cos C

 AB2 = 1 0002 + 8002 - 2.1000.800.cos 105o

 AB2 ≈ 2 054 110,5 m.

 AB ≈ 1433,2 m.

Vậy AB ≈ 1433,2 m.

Bài 7 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác - Cánh diều (ảnh 1)

Gọi C là vị trí ngọn hải đăng, khi đó CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.

Ta có CBH^ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC nên CBH^=BAC^+BCA^.

Do đó BCA^=CBH^BAC^=75°45°=30°.

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

ABsinC=BCsinA

BC=AB.sinAsinC=30.sin45°sin30°=302 m.

Trong tam giác CBH vuông tại H:

sinCBH^=CHBC

 CH = BC . sin CBH^ 

302 . sin 75o = 15 + 153 m ≈ 41 m.

Vậy khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ khoảng 41 m.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Bài 3: Khái niệm vectơ

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Câu hỏi liên quan

Vậy khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ khoảng 41 m.
Xem thêm
Vậy diện tích tam giác ABC là 3995 (đvdt).
Xem thêm
Vậy độ dài cạnh AC là 2,9m.
Xem thêm
Vậy chiều cao cây khoảng 6,8 m.
Xem thêm
Vậy diện tích tam giác ABC là 90 (đvdt). 
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!