Giải Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton
Câu hỏi khởi động
Lời giải:
Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)4, (a + b)5 một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)n với n = 4; n = 5.
a) Tính C03,C13,C23,C33 .
b) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển sau:
Lời giải:
a) Ta có: C03=1,C13=3,C23=3,C33=1
b) Vì (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 1 . a3 + 3 . a2 . b1 + 3 . a1 . b2 + 1 . b3
và theo câu a) ta có: C03=1,C13=3,C23=3,C33=1 .
Vậy ta điền được như sau:
Luyện tập 1 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 + x)4.
Lời giải:
Ta có: (2 + x)4 = 24 + 4 . 23 . x + 6 . 22 . x2 + 4 . 2 . x3 + x4
= 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4.
Luyện tập 2 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 − 3y)4.
Lời giải:
Ta có: (2 – 3y)4 = [2 + (– 3y)]4
= 24 + 4 . 23 . (– 3y) + 6 . 22 . (– 3y)2 + 4 . 2 . (– 3y)3 + (– 3y)4
= 16 – 96y + 216y2 – 216y3 + 81y4.
Luyện tập 3 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Tính:
a) C04+C14+C24+C34+C44 ;
b) C05−C15+C25−C35+C45−C55 .
Lời giải:
a) C04+C14+C24+C34+C44
= =C04.14+C14.13.1+C24.12.12+C34.1.13+C44.14
= (1 + 1)4
= 24 = 16.
b) C05−C15+C25−C35+C45−C55
= C05.15+C15.14.(−1)+C25.13.(−1)2+C35.12.(−1)3+C45.1.(−1)4+C55.(−1)5
= [1 + (– 1)]5
= 05 = 0.
Bài tập
Bài 1 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x + 1)4;
b) (3y – 4)4;
c) (x+12)4 ;
d) (x−13)4 .
Lời giải:
a) (2x + 1)4 = (2x)4 + 4 . (2x)3 . 1 + 6 . (2x)2 . 12 + 4 . (2x) . 13 + 14
= 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1.
b) (3y – 4)4 = [3y + (– 4)]4
= (3y)4 + 4 . (3y)3 . (– 4) + 6 . (3y)2 . (– 4)2 + 4 . (3y) . (– 4)3 + (– 4)4
= 81y4 – 432y3 + 864y2 – 768y + 256.
c) (x+12)4=x4+4.x3.12+6.x2.(12)2+4.x.(12)3+(12)4
=x4+2x3+32x2+12x+116.
d) (x−13)4=(x+(−13))4
=x4+4.x3.(−13)+6.x2.(−13)2+4.x.(−13)3+(−13)4
=x4−43x3+23x2−427x+181.
Bài 2 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:
a) (x + 1)5;
b) (x – 3y)5.
Lời giải:
a) (x + 1)5 = x5 + 5 . x4 . 1 + 10 . x3 . 12 + 10 . x2 . 13 + 5 . x . 14 + 15
= x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1.
b) (x – 3y)5 = [x + (– 3y)]5
= x5 + 5 . x4 . (– 3y) + 10 . x3 . (– 3y)2 + 10 . x2 . (– 3y)3 + 5 . x . (– 3y)4 + (– 3y)5
= x5 – 15x4y + 90x3y2 – 270x2y3 + 405xy4 – 243y5.
Bài 3 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Xác định hệ số của x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5.
Lời giải:
Số hạng chứa x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5 là C15.(3x)4.2 .
Ta có: C15.(3x)4.2=5.81.2.x4=810x4 .
Vậy hệ số của x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5 là 810.
Bài 4 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Cho
(1−12x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
Tính:
a) a3;
b) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5.
Lời giải:
Áp dụng nhị thức Newton ta có:
a) a3 chính là hệ số của x3 trong khai triển biểu thức (1−12x)5.
Do đó, a3=−54 .
b) Tương tự câu a, ta có: a0=1,a1=−52,a2=52,a4=516,a5=−132.
Do đó, a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1+(−52)+52+(−54)+516+(−132) .
Vậy a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =132 .
Bài 5 trang 19 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?
Lời giải:
Mỗi cách trích ra một tập con gồm a phần tử trong 5 phần tử của A chính là một tổ hợp chập a của 5, hay số tập con gồm a phần tử của A là Ca5 .
Số tập hợp con có 0 phần tử của A là C05 .
Số tập hợp con có 1 phần tử của A là C15 .
Số tập hợp con có 2 phần tử của A là C25 .
Số tập hợp con có 3 phần tử của A là C35 .
Số tập hợp con có 4 phần tử của A là C45 .
Số tập hợp con có 5 phần tử của A là C55 .
Do đó, số tập hợp con của A là: C05+C15+C25+C35+C45+C55=32 .
Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm