Giải SGK Toán 10 (Cánh diều) Bài 3: Tổ hợp

Giải Toán 10 Bài 3: Tổ hợp

Câu hỏi khởi động

Câu hỏi khởi động trang 15 Toán lớp 10 Tập 2: Trong một giải bóng bàn đôi nam, mỗi đội 8 người chọn 2 vận động viên để tạo thành một cặp đấu.

Trong toán học, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là gì?

Lời giải:

Sau bài học này, ta sẽ biết, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là một tổ hợp chập 2 của 8.

1. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 15 Toán lớp 10 Tập 2: Đội tuyển bóng bàn nam của trường có 4 bạn Mạnh, Phong, Cường, Tiến. Huấn luyện viên muốn chọn 2 bạn để tạo thành một cặp đấu đôi nam.

a) Nêu 3 cách chọn cặp đấu.

b) Mỗi cặp đấu là một tập con gồm bao nhiêu phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên?

Lời giải:

a) Ba cách chọn cặp đấu, chẳng hạn như sau:

Cách 1: Chọn 2 bạn Mạnh, Phong.

Cách 2: Chọn 2 bạn Cường, Tiến.

Cách 3: Chọn 2 bạn Phong, Tiến.

(Chọn 2 bạn bất kì trong 4 bạn).

b) Mỗi cặp đấu gồm 2 bạn trong 4 bạn của đội tuyển, do đó mỗi cặp đấu là một tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên.

Luyện tập 1 trang 15 Toán lớp 10 Tập 2: Viết tất cả tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c.

Lời giải:

Mỗi tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là một tập con gồm 2 phần tử của tập A = {a; b; c}.

Vậy các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là: {a; b}, {a; c}, {b; c}.

2. Số các tổ hợp

Hoạt động 2 trang 15 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tập hợp A = {a; b; c; d; e}.

a) Nêu cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.

b) Nêu cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.

c) So sánh cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A với cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.

Lời giải:

a) Cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là trích ra một tập con gồm 3 phần tử lấy ra từ 5 phần tử trong A.

b) Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử từ 5 phần tử trong A và sắp xếp thứ tự 3 phần tử đó.

c) Việc lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và sắp thứ tự, còn cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và không sắp thứ tự.

Mỗi tổ hợp chập 3 của 5 phần tử sinh ra 3! chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử vì có 3! hoán vị của 3 phần tử. Vì thế, số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nhiều gấp 3! lần số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.

Luyện tập 2 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Trong một buổi tập huấn cho các bí thư chi đoàn có 10 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi?

Lời giải:

Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.

Vậy số cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi là $C_{10}^3$ = 120 (cách).

Hoạt động 3 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Ta có thể tính số các tổ hợp bằng máy tính cầm tay như sau:

Lời giải:

Thực hiện bấm máy tính cầm tay theo hướng dẫn.

Luyện tập 3 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) $C_{25}^{13}$ ;

b) $C_{30}^{15}$.

Lời giải:

a) Ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím như sau:

Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 5 200 300.

Vậy $C_{25}^{13}=5200300$

b) Ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím như sau:

Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 155 117 520.

Vậy $C_{30}^{15}=155117520$

Hoạt động 4 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: So sánh:

a) $C_6^2$ và $C_6^4$;

b) $C_4^2+C_4^3$ và $C_5^3$ .

Lời giải:

a) Ta có: $C_6^2=\frac{6!}{2!\left(6-2\right)!}=\frac{6!}{2!.4!}=15$ ;

$C_6^4=\frac{6!}{4!\left(6-4\right)!}=\frac{6!}{4!.2!}=15$.

Do đó: $C_6^2=C_6^4$ .

b) Ta có: $C_4^2+C_4^3=\frac{4!}{2!\left(4-2\right)!}+\frac{4!}{3!\left(4-3\right)!}$ $=\frac{4!}{2!.2!}+\frac{4!}{3!.1!}=\frac{\mathrm{4.3.2.1}}{\mathrm{2.1.2.1}}+\frac{\mathrm{4.3.2.1}}{\mathrm{3.2.1}}$= 6 + 4 = 10;

$C_5^3=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}=\frac{5!}{3!.2!}$$=\frac{\mathrm{5.4.3.2.1}}{\mathrm{3.2.1.2.1}}=10$.

Do đó: $C_4^2+C_4^3$ = $C_5^3$ .

Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để tính rồi so sánh.

Bài tập

Bài 1 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho?

Lời giải:

Chọn 3 điểm trong 8 điểm đã cho ta được 3 đỉnh của 1 tam giác.

Mỗi cách chọn 3 điểm trong 8 điểm là một tổ hợp chập 3 của 8, do đó có tam giác.

Vậy có 56 tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho.

Bài 2 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Có 10 đội tham gia một giải bóng đá. Có bao nhiêu cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần?

Lời giải:

Mỗi cách chọn 2 đội để đấu với nhau trong 10 đội tham gia giải bóng đá là một tổ hợp chập 2 của 10, do đó có $C_{10}^2=45$ cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần.

Bài 3 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Khối 10 có 16 bạn nữ và 18 bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy?

Lời giải:

Khối đó có tổng cộng số học sinh tham gia tình nguyện là: 16 + 18 = 34 (học sinh).

Số cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh bất kì, có $C_{34}^3=5984$ (cách lập).

Số cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh toàn nữ là $C_{16}^3=560$ (cách lập).

Số cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh toàn nam là $C_{18}^3=816$ (cách lập).

Do đó, có 5 984 – 560 – 816 = 4 608 cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ.

Bài 4 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Một quán nhỏ bày bán hoa có 50 bông hồng và 60 bông cúc. Bác Ngọc muốn mua 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa trên. Bác Ngọc có bao nhiêu cách chọn hoa?

Lời giải:

Tổng số bông hoa của quán là: 50 + 60 = 110 (bông)

Số cách chọn 5 bông hoa bất kì trong 110 bông hoa là $C_{110}^5$ (cách chọn).

Số cách chọn 5 bông hoa hồng trong 50 bông hồng là $C_{50}^5$ (cách chọn).

Số cách chọn 5 bông hoa cúc trong 60 bông cúc là $C_{60}^5$ (cách chọn).

Do đó, có $C_{110}^5-C_{50}^5-C_{60}^5$ = 114 811 250 cách chọn 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa.

Bài 5 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Tính tổng $C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}$ .

Lời giải:

Cách 1: Ta có: $C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}$

$=C_{16-1}^{13-1}+C_{16-1}^{13}+C_{16}^{14}$$=C_{16}^{13}+C_{16}^{14}$

$=\frac{16!}{13!\left(16-13\right)!}+\frac{16!}{14!\left(16-14\right)!}$

$=\frac{\mathrm{16.15.14}}{\mathrm{3.2.1}}+\frac{16.15}{2.1}$

$=\mathrm{8.5.14}+8.15=560+120=680$

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

$C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}$= 455 + 105 + 120 = 680.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Bài 4: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng. Sai số