Giải Toán 10 Bài 3: Tổ hợp
Câu hỏi khởi động
Trong toán học, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là gì?
Lời giải:
Sau bài học này, ta sẽ biết, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là một tổ hợp chập 2 của 8.
1. Định nghĩa
a) Nêu 3 cách chọn cặp đấu.
b) Mỗi cặp đấu là một tập con gồm bao nhiêu phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên?
Lời giải:
a) Ba cách chọn cặp đấu, chẳng hạn như sau:
Cách 1: Chọn 2 bạn Mạnh, Phong.
Cách 2: Chọn 2 bạn Cường, Tiến.
Cách 3: Chọn 2 bạn Phong, Tiến.
(Chọn 2 bạn bất kì trong 4 bạn).
b) Mỗi cặp đấu gồm 2 bạn trong 4 bạn của đội tuyển, do đó mỗi cặp đấu là một tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên.
Luyện tập 1 trang 15 Toán lớp 10 Tập 2: Viết tất cả tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c.
Lời giải:
Mỗi tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là một tập con gồm 2 phần tử của tập A = {a; b; c}.
Vậy các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là: {a; b}, {a; c}, {b; c}.
2. Số các tổ hợp
Hoạt động 2 trang 15 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tập hợp A = {a; b; c; d; e}.
a) Nêu cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.
b) Nêu cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.
c) So sánh cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A với cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.
Lời giải:
a) Cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là trích ra một tập con gồm 3 phần tử lấy ra từ 5 phần tử trong A.
b) Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử từ 5 phần tử trong A và sắp xếp thứ tự 3 phần tử đó.
c) Việc lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và sắp thứ tự, còn cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và không sắp thứ tự.
Mỗi tổ hợp chập 3 của 5 phần tử sinh ra 3! chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử vì có 3! hoán vị của 3 phần tử. Vì thế, số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nhiều gấp 3! lần số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.
Lời giải:
Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.
Vậy số cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi là C310 = 120 (cách).
Hoạt động 3 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Ta có thể tính số các tổ hợp bằng máy tính cầm tay như sau:
Lời giải:
Thực hiện bấm máy tính cầm tay theo hướng dẫn.
Luyện tập 3 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Dùng máy tính cầm tay để tính:
a) C1325 ;
b) C1530.
Lời giải:
a) Ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím như sau:
Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 5 200 300.
Vậy C1325=5200300
b) Ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím như sau:
Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 155 117 520.
Vậy C1530=155117520
Hoạt động 4 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: So sánh:
a) C26 và C46;
b) C24+C34 và C35 .
Lời giải:
a) Ta có: C26=6!2!(6−2)!=6!2!.4!=15 ;
C46=6!4!(6−4)!=6!4!.2!=15.
Do đó: C26=C46 .
b) Ta có: C24+C34=4!2!(4−2)!+4!3!(4−3)! =4!2!.2!+4!3!.1!=4.3.2.12.1.2.1+4.3.2.13.2.1= 6 + 4 = 10;
C35=5!3!(5−3)!=5!3!.2!=5.4.3.2.13.2.1.2.1=10.
Do đó: C24+C34 = C35 .
Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để tính rồi so sánh.
Bài tập
Lời giải:
Chọn 3 điểm trong 8 điểm đã cho ta được 3 đỉnh của 1 tam giác.
Mỗi cách chọn 3 điểm trong 8 điểm là một tổ hợp chập 3 của 8, do đó có tam giác.
Vậy có 56 tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho.
Lời giải:
Mỗi cách chọn 2 đội để đấu với nhau trong 10 đội tham gia giải bóng đá là một tổ hợp chập 2 của 10, do đó có C210=45 cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần.
Lời giải:
Khối đó có tổng cộng số học sinh tham gia tình nguyện là: 16 + 18 = 34 (học sinh).
Số cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh bất kì, có C334=5984 (cách lập).
Số cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh toàn nữ là C316=560 (cách lập).
Số cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh toàn nam là C318=816 (cách lập).
Do đó, có 5 984 – 560 – 816 = 4 608 cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ.
Lời giải:
Tổng số bông hoa của quán là: 50 + 60 = 110 (bông)
Số cách chọn 5 bông hoa bất kì trong 110 bông hoa là C5110 (cách chọn).
Số cách chọn 5 bông hoa hồng trong 50 bông hồng là C550 (cách chọn).
Số cách chọn 5 bông hoa cúc trong 60 bông cúc là C560 (cách chọn).
Do đó, có C5110−C550−C560 = 114 811 250 cách chọn 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa.
Bài 5 trang 17 Toán lớp 10 Tập 2: Tính tổng C1215+C1315+C1416 .
Lời giải:
Cách 1: Ta có: C1215+C1315+C1416
=C13−116−1+C1316−1+C1416=C1316+C1416
=16!13!(16−13)!+16!14!(16−14)!
=16.15.143.2.1+16.152.1
=8.5.14+8.15=560+120=680
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
C1215+C1315+C1416= 455 + 105 + 120 = 680.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: