Cho đường tròn (C) có phương trình x^2 + y^2 – 2x – 4y – 20 = 0

Bài 5 trang 63 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0.

a) Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6).

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0.

Trả lời

a) Thay tọa độ điểm M(4; 6) vào phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0, ta được:

4² + 6² – 2.4 – 4.6 – 20 = 0

⇔ 24 + 36 – 8 – 24 – 20 = 0

⇔ 0 = 0 (luôn đúng)

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b) Xét phương trình đường tròn (C):

x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 – 25 = 0

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² = 5²

Do đó đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và R = 5.

⇒ $\overrightarrow{IM}\left(3;4\right)$

Do đó phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) nhận $\overrightarrow{IM}\left(3;4\right)$ làm VTPT và đi qua điểm M(4; 6) là:

3(x – 4) + 4(y – 6) = 0

⇔ 3x + 4y – 36 = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là: 3x + 4y – 36 = 0.

c) Đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n}$(4; 3).

Vì tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 nên nhận $\overrightarrow{n}$(4; 3) làm VTPT. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) có dạng: 4x + 3y + c = 0.

Khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ là: d(I; ∆) = 

Do ∆ là tiếp tuyến của (C) nên khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng đúng bán kính của đường tròn nên ta có phương trình:

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2 022 = 0 là: 4x + 3y + 15 = 0 và 4x + 3y – 35 = 0.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố