Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; – 5), N(2; – 1), P(3; – 8)

Luyện tập 3 trang 45 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; – 5), N(2; – 1), P(3; – 8). 

Trả lời

Các đoạn thẳng MN, NP tương ứng có trung điểm là A(3; – 3), B$\left(\frac{5}{2};\frac{-9}{2}\right)$. Đường thẳng trung trực d₁ của đoạn thẳng MN đi qua điểm A(3; – 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MN}=\left(-2;4\right)$. 

Vì $\overrightarrow{MN}=\left(-2;4\right)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ nên d₁ cũng nhận $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d₁ là: 1(x – 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 9 = 0. 

Đường thẳng trung trực d₂ của đoạn thẳng NP đi qua B$\left(\frac{5}{2};\frac{-9}{2}\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{NP}=\left(1;-7\right)$, do đó phương trình d₂ là: $1\left(x-\frac{5}{2}\right)-7\left(y+\frac{9}{2}\right)=0$ hay x – 7y – 34 = 0. 

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm M, N, P nên I là giao điểm của d₁ và d₂. 

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y-9=0\\ x-7y-34=0\end{array}\right.$. 

Suy ra I(– 1; – 5). Đường tròn (C) có bán kính là IM =$\sqrt{{\left(4-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-5-\left(-5\right)\right)}^2}=5$.

Vậy phương trình của (C) là: (x + 1)² + (y + 5)² = 25