Giải SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 10 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f = f(x), g = g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (fg)’ = fg’.

B. (fg)’ = f’g’.

C. (fg)’ = f’g – fg’.

D. (fg)’ = f’g + fg’.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo công thức tính đạo hàm của một tích ta có: (fg)’ = f’g + fg’.

Bài 11 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f = f(x), g = g(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định và g = g(x) ≠ 0, g’ = g’(x) ≠ 0. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Theo công thức tính đạo hàm của một thương ta có: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{f^{\text{'}}g-f{g}^{\text{'}}}{g^2}.$

Bài 12 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = cos3x. Khi đó f’(x) bằng:

A. sin3x.

B. –sin3x.

C. –3sin3x.

D. 3sin3x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: f’(x) = (cos3x)’ = (–3x)’.sin3x = –3.sin3x.

Bài 13 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = sin(x²). Khi đó f’(x) bằng:

A. 2xcos(x²).

B. cos(x²).

C. x²cos(x²).

D. 2xcos(2x).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: f’(x) = [sin(x²)]’ = (x²)’.cos(x²) = 2xcos(x²).

Bài 14 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x+3}.$ Khi đó f’(x) bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{1}{2x+3}\right)}^{\text{'}}=-\frac{{\left(2x+3\right)}^{\text{'}}}{{\left(2x+3\right)}^2}=-\frac{2}{{\left(2x+3\right)}^2}=\frac{-2}{{\left(2x+3\right)}^2}.$

Bài 15 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = e^2x. Khi đó f’(x) bằng:

A. e^2x.

B. 2e^x.

C. 2xe^2x.

D. 2e^2x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có f’(x) = (e^2x)’ = (2x)’.e^2x = 2e^2x.

Bài 16 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = ln(3x). Khi đó f’(x) bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\ln \left(3x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(3x\right)}^{\text{'}}}{3x}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.$

Bài 17 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀ = 2:

a) $f\left(x\right)=e^{x^2+2x}$; b) $g\left(x\right)=\frac{3^x}{2^x}$;

c) h(x) = 2^x . 3^{x + 2}; d) k(x) = log­₃(x² – x).

Lời giải:

a) Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(e^{x^2+2x}\right)}^{\text{'}}={\left(x^2+2x\right)}^{\text{'}}\cdot e^{x^2+2x}=\left(2x+2\right)e^{x^2+2x}.$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 2 là: $f^{\text{'}}\left(2\right)=\left(2\cdot 2+2\right)e^{2^2+2\cdot 2}=6e^8.$

b) Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{3^x}{2^x}\right)}^{\text{'}}={\left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^x\right]}^{\text{'}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^x\text{ln}\frac{3}{2}.$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 2 là: $g^{\text{'}}\left(2\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^2\text{ln}\frac{3}{2}=\frac{9}{4}\text{ln}\frac{3}{2}.$

c) Ta có: h(x) = 2^x . 3^{x + 2} = 2^x.3^x.9 = 9.6^x.

Suy ra h’(x) = 9ln6.6^x.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 2 là: h’(2) = 9ln6.6² = 324ln6.

d) Ta có: $k^{\text{'}}\left(x\right)={\left[lo{g}_3\left(x^2–x\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2-x\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2-x\right)\text{ln}3}=\frac{2x-1}{x\left(x-1\right)\text{ln}3}.$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 2 là: $k^{\text{'}}\left(2\right)=\frac{2\cdot 2-1}{2\left(2-1\right)\text{ln}3}=\frac{3}{2\text{ln}3}.$

Bài 18 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=2\cos \left(\sqrt{x}\right);$ b) g(x) = tan(x²);

c) h(x) = cos²(3x) – sin²(3x); d) $k\left(x\right)={\sin }^{2}x+e^x\cdot \sqrt{x}.$

Lời giải:

a) $f^{\text{'}}\left(x\right)=2{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}\cdot \left[-\sin \left(\sqrt{x}\right)\right]=-\frac{2}{2\sqrt{x}}\cdot \sin \left(\sqrt{x}\right)=\frac{-\sin \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}.$

b) $g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(x^2\right)}^{\text{'}}}{{\cos }^2\left(x^2\right)}=\frac{2x}{{\cos }^2\left(x^2\right)}.$

c) h(x) = cos²(3x) – sin²(3x) = cos(6x).

Ta có: h’(x) = (6x)’.[–sin(6x)] –6sin6x.

d) $k^{\text{'}}\left(x\right)={\left[{\sin }^2\left(x\right)\right]}^{\text{'}}+{\left(e^x\cdot \sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$

$=2\sin x{\left(\sin x\right)}^{\text{'}}+{\left(e^x\right)}^{\text{'}}\cdot \sqrt{x}+e^x\cdot {\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$

$=2\sin x\cos x+e^x\sqrt{x}+\frac{e^x}{2\sqrt{x}}.$

Bài 19 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2^{3x – 6}. Giải phương trình f’(x) = 3ln2.

Lời giải:

f’(x) = (2^{3x – 6})’ = (3x – 6)’. 2^{3x – 6}ln2 = 3ln2. 2^{3x – 6}. Khi đó:

f’(x) = 3ln2

⇔ 3ln2. 2^{3x – 6} = 3ln2

⇔ 2^{3x – 6} = 1

⇔ 3x – 6 = 0

⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 20 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Giải bất phương trình f’(x) < 0, biết:

a) f(x) = x³ – 9x² + 24x; b) f(x) = –log₅(x + 1).

Lời giải:

a) Ta có: f’(x) = 3x² – 18x + 24.

Khi đó, f’(x) < 0 ⇔ 3x² – 18x + 24 < 0

⇔ x² – 6x + 8 < 0

⇔ (x – 2)(x – 4) < 0

⇔ 2 < x < 4.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (2; 4).

b) Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{\left(x+1\right)\text{ln}5}=\frac{-1}{\left(x+1\right)\text{ln}5}.$

Khi đó, f’(x) < 0 $\iff \frac{-1}{\left(x+1\right)\text{ln}5}<0$

⇔ x + 1 > 0

⇔ x > –1.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (–1; +∞).

Bài 21 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định, hàm số g(x) được xác định bởi g(x) = [f(x)]² + 2xf(x). Biết f’(0) = f(0) = 1. Tính g’(0)

Lời giải:

Ta có: g’(x) = 2f(x)f’(x) + (2x)’f(x) + 2xf’(x).

= 2f(x)f’(x) + 2f(x) + 2xf’(x).

Vậy g’(0) = 2f(0).f’(0) + 2.f(0) + 2.0.f’(0)

= 2.1.1 + 2.1 + 0 = 4.

Bài 22 trang 73 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x² + 3x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có:

a) Hoành độ bằng –1; b) Tung độ bằng 4.

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = x² + 3x.

f’(x) = (x² + 3x)’ = 2x + 3.

a) Ta có f’(–1) = 2.(–1) + 3 = –2 + 3 = 1 và f(–1) = (–1)² + 3.(–1) = 1 – 3 = –2.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng –1 là:

y = f’(–1)[x – (–1)] + f(–1)

Hay y = 1.(x + 1) – 2, tức là y = x – 1.

b) Gọi điểm có tọa độ (a; 4) là tiếp điểm của đồ thị (C) có tung độ bằng 4.

Khi đó ta có f(a) = 4

Suy ra a² + 3a = 4

Hay a² + 3a – 4 = 0

Do đó a = 1 hoặc a = –4.

Suy ra hai điểm M­₁(1; 4) và M₂(–4; 4).

Ta có f’(1) = 2.1 + 3 = 5 và f’(–4) = 2.(–4) + 3 = –8 + 3 = –5.

Trường hợp 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M­₁(1; 4) là:

y = f’(1)(x – 1) + 4

Hay y = 5(x – 1) + 4, tức là y = 5x – 1.

Trường hợp 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M₂(–4; 4) là:

y = f’(–4)(x + 4) + 4

Hay y = –5(x + 4) + 4, tức là y = –5x – 16.

Bài 23 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+2}$có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị ( C) trong mỗi trường hợp sau:

a) d song song với đường thẳng y = 5x – 2;

b) d vuông góc với đường thẳng y = –20x + 1.

Lời giải:

Ta có: $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}.$

a) Vì d song song với đường thẳng y = 5x – 2 nên đường thẳng d có hệ số bằng 5.

Do đó $\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}=5\iff {\left(x+2\right)}^2=1\iff \left[\begin{array}{l}x+2=1\\ x+2=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-3\end{array}\right..$

⦁ Với x = –1 thì $y\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)-3}{\left(-1\right)+2}=\frac{-4}{1}=-4.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M­₁(–1; –4) là:

y = 5(x + 1) + (–4), hay y = 5x + 1.

⦁ Với x = –3 thì $y\left(-3\right)=\frac{\left(-3\right)-3}{\left(-3\right)+2}=\frac{-6}{-1}=6.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M₂(–3; 6) là:

y = 5(x + 3) + 6, hay y = 5x + 21.

b) Vì d vuông góc với đường thẳng y = –20x + 1 nên đường thẳng d có hệ số bằng $\frac{-1}{-20}=\frac{1}{20}.$

Do đó $\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{1}{20}\iff {\left(x+2\right)}^2=100\iff \left[\begin{array}{l}x+2=10\\ x+2=-10\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=8\\ x=-12\end{array}\right.$

⦁ Với x = 8 thì $y\left(8\right)=\frac{8-3}{8+2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm $M_3\left(8;\frac{1}{2}\right)$ là:

$y=\frac{1}{20}\left(x-8\right)+\frac{1}{2},$ hay $y=\frac{1}{20}x+\frac{1}{10}.$

⦁ Với x = –12 thì $y\left(-12\right)=\frac{\left(-12\right)-3}{\left(-12\right)+2}=\frac{-15}{-10}=\frac{3}{2}.$

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm $M_4\left(-12;\frac{3}{2}\right)$ là:

$y=\frac{1}{20}\left(x+12\right)+\frac{3}{2},$ hay $y=\frac{1}{20}x+\frac{21}{10}.$

Bài 24 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2,$ trong đó t > 0, t tính theo giây, s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s).

Lời giải:

Vận tốc tức thời của chất tại thời điểm t (s) giây là:

$v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)={\left(\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2\right)}^{\text{'}}=t^2-6t+8$ (m/s).

Vận tốc tức thời của chất tại thời điểm t = 5 (s) là:

v(5) = 5² – 6.5 + 8 = 3 (m/s).

Bài 25 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Một mạch dao động điện từ LC có lượng điện tích dịch chuyển qua tiết diện thẳng của dây xác định bới hàm số $Q\left(t\right)={10}^{-5}\sin \left(2000t+\frac{\pi }{3}\right),$ trong đó t > 0, t tính bằng giây, Q tính bằng Coulomb. Tính cường độ dòng điện tức thời I (A) trong mạch tại thời điểm $t=\frac{\pi }{1500}\left(s\right),$ biết I (t) = Q’(t).

Lời giải:

Cường độ dòng điện tức thời trong mạch tại thời điểm t (s) là:

$I\left(t\right)=Q^{\text{'}}\left(t\right)={10}^{-5}\cdot 2000\cdot \text{cos}\left(2000t+\frac{\pi }{3}\right)=0,02\text{cos}\left(2000t+\frac{\pi }{3}\right)$(A).

Cường độ dòng điện tức thời trong mạch tại thời điểm $t=\frac{\pi }{1500}$ (s) là:

$I\left(\frac{\pi }{1500}\right)=0,02\text{cos}\left(2000\cdot \frac{\pi }{1500}+\frac{\pi }{3}\right)=0,01$ (A).

Bài 26 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Năm 2010, dân số ở một tỉnh D là 1 038 229 người. Tính đến năm 2015, dân số của tỉnh đó là 1 153 600 người. Cho biết dân số của tỉnh D được ước tính theo công thức S(N) = Ae^Nr (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm được làm tròn đến hàng phần nghìn). Tốc độ gia tăng dân số (người/năm) vào thời điểm sau N năm kể từ năm 2010 được xác định bởi hàm số S’(N). Tính tốc độ gia tăng dân số của tỉnh D vào năm 2023 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị người/năm), biết tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi.

Lời giải:

Tính từ năm 2010 đến năm 2015 (khoảng thời gian là 5 năm), chọn năm 2010 làm mốc, ta có:

1 153 600 = 1 038 229.e^5r

Suy ra $r=\frac{\ln \left(\frac{1153600}{1038229}\right)}{5}\approx 0,021.$

Khi đó, ta có: S(N) ≈ 1 038 229.e^0,021N.

Suy ra tốc độ gia tăng dân số vào thời điểm sau N năm kể từ năm 2010 là:

S’(N) ≈ 0,021 . 1 038 229 . e^0,021N = 21 802,809 . e^0,021N (người/năm)

Tốc độ gia tăng dân số tỉnh D vào năm 2023 (sau 13 năm từ năm 2010) là:

S’(13) ≈ 21 802,809 . e^0,021 . 13 ≈ 28 647 (người/năm).

Bài 27 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Một tài xế đang lái xe ô tô, ngay khi phát hiện có vật cản phía trước đã phanh gấp lại nhưng vẫn xảy ra va chạm, chiếc ô tô để lại vết trượt dài 20,4 m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình đạp phanh, ô tô chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=20t-\frac{5}{2}{t}^2,$trong đó s (m) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh, t(s) thời gian tính từ lúc bắt đầu phanh (0 ≤ t ≤ 4).

a) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh. Hãy cho biết xe ô tô trên có chạy quá tốc độ hay không, biết tốc độ giới hạn cho phép là 70 km/h.

b) Tính vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm?

Lời giải:

a) Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm t (s) là: v(t) = s’(t) = 20 – 5t (m/s).

Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh (t = 0 s) là:

v(0) = 20 – 5.0 = 20 (m/s).

Đổi 20 m/s = 72 km/h > 70 km/h.

Suy ra ô tô trên đã chạy quá tốc độ giới hạn cho phép.

b) Khi xảy ra va chạm, ô tô đã đi được 20,4 m kể từ khi đạp phanh, nên ta có:

$20,4=20t-\frac{5}{2}{t}^2\iff 5t^2-40t+40,8=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1,2\\ t=6,8\end{array}\right.$

Vì 0 ≤ t ≤ 4 nên t = 1,2 (s).

Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm (t = 1,2 s) là:

v(1,2) = 20 – 5.1,2 = 14 (m/s).

Bài 28 trang 74 SBT Toán 11 Tập 2: Trong kinh tế học, xét mô hình doanh thu y (đồng) được tính theo số sản phẩm sản xuất ra x (chiếc) theo công thức y = f(x).

Xét giá trị ban đầu x = x₀. Đặt Mf(x₀) = f(x₀ + 1) – f(x₀) và gọi giá trị đó là giá trị y–cận biên của x tại x = x₀. Giá trị Mf(x₀) phản ánh lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm x₀.

Xem hàm doanh thu y = f(x) như là hàm biến số thực x.

Khi đó Mf(x₀) = f(x₀ + 1) – f(x₀) ≈ f’(x₀). Như vậy, đạo hàm f’(x₀) cho chúng ta biết (xấp xỉ) lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm x₀.

Tính doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm nếu hàm doanh thu là $y=10x-\frac{x^2}{100}$ tại mốc sản phẩm x₀ = 10 000.

Lời giải:

Ta có $y^{\text{'}}\left(x\right)={\left(10x-\frac{x^2}{100}\right)}^{\text{'}}=10-\frac{x}{50}.$

Doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm tại mốc sản phẩm x₀ = 10 000 là:

$f\text{'}\left(10000\right)=10-\frac{10000}{50}=-190$ (đồng).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: